Плосконосый додекаэдр

Плосконосый додекаэдр
Тип	Полуправильный многогранник
Грань	пятиугольник, треугольник
Граней	${\displaystyle 92}$
Рёбер	${\displaystyle 150}$
Вершин	${\displaystyle 60}$
Граней при вершине	${\displaystyle 5}$
Телесный угол	3-3:164°10’31"(164.18°) 3-5=152°55’53"(152.93°)
Символ Шлефли	sr{5,3} или ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$
Символ Витхоффа	2 3 5
Диаграмма Коксетера
Симметрии вращения	I, [5,3]^+, (532), порядок 60
Двойственный многогранник	Пентагональный гексаконтаэдр
Развёртка
С раскраской граней	Вершинная фигура

Плосконосый додекаэдр[1][2], курносый додекаэдр[3] или плосконосый икосододекаэдр — это полуправильный многогранник (архимедово тело), одно из тринадцати выпуклых изогональных^[англ.] непризматических тел, гранями которых являются два или более правильных многоугольника.

Плосконосый додекаэдр имеет 92 грани (наибольшее количество из всех архимедовых тел), 12 из них являются пятиугольниками, а остальные 80 — правильными треугольниками. У него 150 рёбер и 60 вершин.

Многогранник имеет две различные формы, являющиеся зеркальными образами^[англ.] (или «энантиоморфным видом») друг друга. Объединение обоих видов образует соединение двух плосконосых додекаэдров^[англ.], а выпуклая оболочка этой конструкции является ромбоусечённым икосододекаэдром.

Кеплер первоначально назвал его в 1619 по латински dodecahedron simum в своей книге Harmonices Mundi. Гарольд Коксетер заметил, что многогранник можно получить равным образом из додекаэдра или икосаэдра и назвал его плосконосым икосододекаэдром, с вертикальным символом Шлефли ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$.

Отношение длины ребра "a" к диаметру описанного шара "D":

D=4.311675*a

Декартовы координаты

Декартовыми координатами вершин плосконосого додекаэдра являются все чётные перестановки

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)),

(±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)),

(±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) и

(±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),

с чётным числом знаков плюс, где

α = ξ − 1 / ξ

и

β = ξϕ + ϕ^2 + ϕ /ξ,

Здесь ϕ = (1 + √5)/2 — золотое сечение, а ξ является вещественным решением уравнения ξ^3 − 2ξ = ϕ и это число равно

${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}}$

или, приближённо, 1,7155615.

Этот плосконосый додекаэдр имеет длину ребра примерно 6,0437380841.

Трансформация из ромбоикосидодекаэдра в плосконосый додекаэдр

Если взять нечётные перестановки вышеприведённых координат с чётным числом знаков плюс, получим другую, энантиоморфную форму первого. Хотя это и не сразу очевидно, тело, полученное из чётных перестановок, является тем же самым, что и из нечётных. Тем же образом, зеркальное отображение многогранника будет соответствовать либо чётным перестановкам, либо нечётным.

Площадь поверхности и объём

Длиной ребра 1 площадь поверхности равна

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,28674495844515}$

а объём равен

${\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\phi +1)-\xi (36\phi +7)-(53\phi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37,61664996273336}$,

где ϕ — золотое сечение.

Плосконосый додекаэдр имеет наивысшую сферичность из всех архимедовых тел.

Ортогональные проекции

Плосконосый додекаэдр имеет две специальные ортогональные проекции, центрированные относительно двух типов граней — треугольных и пятиугольных, соответствующие плоскостям Коксетера A₂ и H₂.

Ортогональные проекции

Центрирован относительно	Треугольной грани	Пятиугольной грани	Ребра
Изображение
Проективная симметрия	[3]	[5]^+	[2]
Двойственный многогранник

Геометрические связи

Вращение курносого додекаэдра
Вращение по спирали вправо Вращение по спирали влево

Плосконосый додекаэдр может быть получен из двенадцати правильных пятиугольных граней додекаэдра путём их вытягивания наружу, так что они перестают касаться друг друга. При вытягивании на подходящее расстояние это даст ромбоикосидодекаэдр, если заполнить полученное пространство между разделёнными рёбрами квадратами, а между разделёнными вершинами — треугольниками. Но чтобы получить плосконосый вид, заполняем только треугольные грани, квадратные промежутки оставляем пустыми. Теперь поворачиваем пятиугольники относительно их центров вместе с треугольниками, пока квадратные промежутки не превратятся в равносторонние треугольники.

Додекаэдр

Ромбоикосидодекаэдр (Расширенный додекаэдр)

Плосконосый додекаэдр

Плосконосый додекаэдр можно также получить из ромбоусечённого икосододекаэдра путём альтернации^[англ.]. Шестьдесят вершин ромбоусечённого икосододекаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный одному плосконосому додекаэдру. Оставшиеся шестьдесят образуют его зеркальное отражение. Получившийся многогранник вершинно транзитивен, но не однороден, поскольку имеет рёбра разной длины, необходима некоторая деформация, чтобы привести его к однородному многограннику.

Связанные многогранники и мозаики

Семейство однородных икосаэдральных многогранников

Симметрия: [5,3], (*532)							[5,3]^+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двойственные к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот полуправильный многогранник принадлежит последовательности плосконосых^[англ.] многогранников и мозаик с вершинной фигурой (3.3.3.3.n) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Эти фигуры и их двойственные имеют (n32) вращательную симметрию^[англ.] и существуют в евклидовой плоскости для n=6 и гиперболической плоскости для любого n, большего 6. Можно считать, что последовательность начинается с n=2, если допустить, что некоторое множество граней вырождается в двуугольники.

n32 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.3.3.n

Симметрия n32	Сферическая				Евклидоваn	Компактная гиперболич.		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Плосконосые фигуры
Конфигурация	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фигуры
Конфигурация	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Граф плосконосого додекаэдра

Граф плосконосого додекаэдра
Вершин	60
Рёбер	150
Автоморфизмы	60
Свойства	гамильтонов регулярный
Медиафайлы на Викискладе

В теории графов граф плосконосого додекаэдра — это граф вершин и рёбер^[англ.] плосконосого додекаэдра. Он имеет 60 вершин и 150 рёбер и является архимедовым графом [4].

Ортогональные проекции

См. также

• Преобразование плоского многоугольника в многогранник Анимация
• ccw и cw — вращающиеся плосконосые додекаэдры

Примечания

1. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
2. Люстерник, 1956, с. 183.
3. Веннинджер, 1974, с. 20, 42.
4. Read, Wilson, 1998, с. 269.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382-447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
• Udaya Jayatilake. Calculations on face and vertex regular polyhedra // Mathematical Gazette. — 2005. — Т. 89, вып. 514 (March). — С. 76–81.
• Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X.. (Секция 3-9)
• P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
• R.C. Read, R.J. Wilson. An Atlas of Graphs. — Oxford University Press, 1998.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Snub dodecahedral graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• 3D convex uniform polyhedra Архивная копия от 22 декабря 2015 на Wayback Machine
• Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view Архивная копия от 23 декабря 2015 на Wayback Machine
• The Uniform Polyhedra Архивная копия от 11 февраля 2008 на Wayback Machine
• Virtual Reality Polyhedra Архивная копия от 23 февраля 2008 на Wayback Machine The Encyclopedia of Polyhedra
• The Snub Dodecahedron made with LEGO Архивная копия от 22 декабря 2015 на Wayback Machine by Antonio Nicassio (ITALY)