Усечённый додекаэдр

Усечённый додекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы	32 грани 90 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 12 десятиугольников
Конфигурация вершины	3.10^2
Двойственный многогранник	триакисикосаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	tD
Символ Шлефли	t{5,3}
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Усечённый додека́эдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle \pi +\arccos {\frac {\sqrt {5}}{3}}\approx 1{,}23\pi .}$

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 116{,}57^{\circ },}$ как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и десятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ },}$ как в икосододекаэдре.

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

В координатах

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle (0;\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +2)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm \Phi ;\;\pm 2\Phi ),}$
• ${\displaystyle (\pm \Phi ;\;\pm 2;\;\pm (\Phi +1)),}$

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100{,}9907602a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85{,}0396646a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}9694490a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}9270510a.}$

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{2}}}\;a\approx 2{,}4898983a.}$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{10}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(9+5{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}9127812a.}$

Примечания

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 34.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
3. Люстерник, 1956, с. 183.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Усечённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.