Удлинённая четырёхугольная пирамида

Удлинённая четырёхугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	9 граней 16 рёбер 9 вершин Χ = 2
Грани	4 треугольника 5 квадратов
Конфигурация вершины	4(4^3) 1(3^4) 4(3^2.4^2)
Двойственный многогранник	J8
Развёртка
Классификация
Обозначения	J8, М2+П4
Группа симметрии	C4v

Удлинённая четырёхуго́льная пирами́да[1] — один из многогранников Джонсона (J₈, по Залгаллеру — М₂+П₄).

Составлена из 9 граней: 4 правильных треугольников и 5 квадратов. Каждая треугольная грань окружена одной квадратной и двумя треугольными; среди квадратных 1 грань окружена четырьмя квадратными, другие 4 — тремя квадратными и одной треугольной.

Имеет 16 рёбер одинаковой длины. 8 рёбер располагаются между двумя квадратными гранями, 4 ребра — между квадратной и треугольной, остальные 4 — между двумя треугольными.

У удлинённой четырёхугольной пирамиды 9 вершин. В 4 вершинах (расположенных как вершины квадрата) сходятся три квадратных грани; в 4 вершинах (расположенных как вершины другого квадрата) — две квадратных и две треугольных; в 1 вершине — четыре треугольных.

Удлинённую четырёхугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — куба и квадратной пирамиды, все рёбра у которой одинаковой длины (J₁), — приложив основание пирамиды к одной из граней куба.

Метрические характеристики

Если удлинённая четырёхугольная пирамида имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(5+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 6{,}7320508a^{2},}$

${\displaystyle V=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)a^{3}\approx 1{,}2357023a^{3}.}$

В координатах

Удлинённую четырёхугольную пирамиду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1),}$
• ${\displaystyle (0;\;0;\;1+{\sqrt {2}}).}$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две из четырёх плоскостей симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Заполнение пространства

С помощью удлинённых четырёхугольных пирамид и правильных тетраэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрацию).

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 20.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Удлинённая четырёхугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.