Додекаэдр Билинского

Додекаэдр Билинского
(вращающаяся модель)
Свойства	выпуклый, зоноэдр
Комбинаторика
Элементы	12 граней 24 ребра 14 вершин Χ = 2
Грани	12 ромбов
Конфигурация вершины	4+4(4.4.4) 4+2(4.4.4.4)
Классификация
Группа симметрии	D2h
Медиафайлы на Викискладе

Додекаэдр Билинского[1] — многогранник (зоноэдр), составленный из 12 одинаковых золотых ромбов.

Топологически изоморфен ромбододекаэдру, но, в отличие от него, не является изоэдральным (хотя всего его грани также конгруэнтны) и имеет другую группу симметрии.

Грани додекаэдра Билинского — ромбы с отношением диагоналей, равным золотому сечению ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618;}$ они несколько более вытянуты, чем грани ромбододекаэдра, представляющие собой ромбы с отношением диагоналей ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}414.}$

• 
  Грань ромбододекаэдра
• 
  Грань додекаэдра Билинского

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся четыре грани своими острыми углами; в 4 вершинах сходятся три грани тупыми углами; в 4 вершинах сходятся одна грань острым углом и две тупыми; в 4 вершинах сходятся три грани острыми углами и одна тупым.

У додекаэдра Билинского 24 ребра равной длины. При 12 рёбрах (примыкающих к вершинам, отмеченным на рисунке красным) двугранные углы равны ${\displaystyle 144^{\circ };}$ при 8 рёбрах (между зелёной и синей вершинами) — ${\displaystyle 108^{\circ };}$ при 4 рёбрах (между чёрной и зелёной вершинами) — ${\displaystyle 72^{\circ }.}$

В координатах

Проекции на координатные плоскости

Додекаэдр Билинского можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm \Phi ^{2}\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm 1;\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm \Phi \right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm \Phi ;\;\pm 1;\;0\right).}$

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Метрические характеристики

Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {24}{\sqrt {5}}}\;a^{2}\approx 10{,}7331263a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {4}{5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a^{3}\approx 2{,}4621468a^{3}.}$

История

Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика Джона Лоджа Коули^[англ.][2][3].

Заново найден в 1960 году хорватским математиком Станко Билинским[4], который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода»[5]. Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной Евграфом Фёдоровым[6].

Гарольд Коксетер в статье 1962 года[7] ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованием ромбододекаэдра. Это утверждение ложно[6].

Доказательство

Рассмотрим на иллюстрациях выше два отрезка: диагональ многогранника, соединяющую две синих вершины ${\displaystyle \left(-\Phi ;\;-1;\;0\right),}$ ${\displaystyle \left(\Phi ;\;1;\;0\right),}$ и диагональ грани, соединяющую красную вершину ${\displaystyle \left(0;\;-1;\;1\right)}$ с зелёной ${\displaystyle \left(\Phi ;\;0;\;\Phi \right).}$

В додекаэдре Билинского эти отрезки не параллельны, в ромбододекаэдре же соответствующие им отрезки — параллельны. А поскольку аффинное преобразование сохраняет параллельность отрезков, получить один многогранник из другого при помощи аффинных растяжений и сжатий нельзя.

Примечания

1. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 157.
2. John Lodge Cowley. Geometry Made Easy; Or, a New and Methodical Explanation of the Elements of Geometry. — London, 1752. — Plate 5, Fig. 16.
3. Hart, George W. (2000), "A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron", Symmetry: Culture and Science, 11 (1—4): 183—199, MR 2001417, Архивировано 1 октября 2015, Дата обращения: 30 января 2021.
4. Bilinski, S. (1960), "Über die Rhombenisoeder", Glasnik Mat. Fiz. Astr., 15: 251—263, Zbl 0099.15506.
5. Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: One of the most charming chapters of geometry, Cambridge: Cambridge University Press, p. 156, ISBN 0-521-55432-2, MR 1458063.
6. Grünbaum, Branko (2010), "The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra", The Mathematical Intelligencer, 32 (4): 5—15, doi:10.1007/s00283-010-9138-7, hdl:1773/15593, MR 2747698.
7. Coxeter, H. S. M. (1962), "The classification of zonohedra by means of projective diagrams", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 41: 137—156, MR 0141004.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Додекаэдр Билинского (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• David I. McCooey. Bilinski's Dodecahedron