Нотация Конвея для многогранников, разработанная Конвеем и продвигаемая Хартом[англ.], используется для описания многогранников, опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс-операциями.
Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation (усечения), определённого Кеплером, чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, tC представляет усечённый куб, а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром. Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC=O. Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.
Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками, представляются первой буквой в их (английском) названии (Tetrahedron = тетраэдр, Octahedron = октаэдр, Cube = куб, Icosahedron = икосаэдр, Dodecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы (Pn – от prism для n-угольных призм), антипризмы (An – от Antiprisms), купола (Un – от cupolae), антикупола (Vn) и пирамиды (Yn – от pyramid). Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как Jn (от Johnson solids = тела Джонсона) для n=1…92.
В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa=e, в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta=b. Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически.
Элементы таблицы даны для затравки с параметрами (v,e,f) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.
Специальные виды
Операция «kis» имеет вариант kn, в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n-сторонами.
Операция усечения имеет вариант tn, в этом случае усекаются только вершины порядка n.
Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC, а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC.
r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g. Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например, s = rs.
Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам.
Двойственный многогранник для затравки – каждая вершина создаёт новую грань
a
ambo
dj djd
e
2e
f+v
Новые вершины добавляются в середине рёбер, а старые вершины отрезаются (rectify) Операция создаёт вершины с валентностью 4.
j
join
da dad
v+f
2e
e
К затравке добавляются пирамиды с достаточной высотой, так что два треугольника, принадлежащие разным пирамидам и имеющие общую сторону затравки, становятся копланарными (лежащими на одной плоскости) и образуют новую грань. Операция создаёт квадратные грани.
k kn
kis
nd = dz dtd
v+f
3e
2e
На каждой грани добавляется пирамида. Акизация или кумуляция,[1] увеличение или пирамидальное расширение.
Отсекает все вершины. Операция является сопряжённой с kis
n
needle
kd = dt dzd
v+f
3e
2e
Двойственный многогранник к усечённой затравке. Грани триангулируются с двумя треугольниками для каждого ребра. Это делит пополам грани через все вершины и рёбра, удаляя при этом исходные рёбра. Операция преобразует геодезический многогранник[англ.] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Она также преобразует (a,0) в (a,a), (a,a) в (3a,0), (2,1) в (4,1), и т.д.
z
zip
dk = td dnd
2e
3e
v+f
Двойственный многогранник к затравке после операции kis или усечение двойственного многогранника. Операция создаёт новые рёбра, перпендикулярные исходным рёбрам. Операция также называется bitruncation (глубоким усечением[англ.]). Эта операция преобразует многогранник Голдберга[англ.]G(a,b) в G(a+2b,a-b) для a>b. Она также преобразует G(a,0) в G(a,a), G(a,a) в G(3a,0), G(2,1) в G(4,1) и т.д.
В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет, эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.
Пример: Затравка в виде додекаэдра как сферическая мозаика
Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.
Оператор(ы)
d
a j
k, t n, z
e o
g s
a&k
a&e
k&k
k&e k&a2
e&e
рёберный мультипликатор
1
2
3
4
5
6
8
9
12
16
Уникальных производных операторов
8
2
8
10
2
Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам.
Производные операции
Оператор
Пример
Название
Альтернативное построение
вершины
рёбра
грани
Описание
Затравка
v
e
f
Исходный многогранник
at
akd
3e
6e
v+2e+f
Операция ambo после truncate
jk
dak
v+2e+f
6e
3e
Операция join после kis. Подобна ortho, за исключением того, что новые квадратные грани вставляются на место исходных рёбер
ak
dajd
3e
6e
v+2e+f
Операция ambo после kis. Подобна expand, за исключением того, что новые вершины добавляются на исходные рёбра, образуя два треугольника.
jt
dakd = dat
v+2e+f
6e
3e
Операция join после truncate. Двойственный многогранник к полученному после операций truncate, затем ambo
tj
dka
4e
6e
v+e+f
truncate join
ka
v+e+f
6e
4e
kis ambo
ea or ae
aaa
4e
8e
v+3e+f
расширенная операция ambo, тройная операция ambo
oa or je
daaa = jjj
v+3e+f
8e
4e
Операция ortho после ambo, тройная операция join
x=kt
exalt
kdkd dtkd
v+e+f
9e
7e
Операции kis truncate, триангуляция, деление рёбер на 3 части и добавление новых вершин в центр исходных граней. Операция преобразует геодезический многогранник[англ.] (a,b) в (3a,3b).
y=tk
yank
dkdk dktd
v+e+f
9e
7e
Операции truncate kis, расширение шестиугольниками вокруг каждого ребра Операция преобразует многогранник Голдберга[англ.]G(a,b) в G(3a,3b).
nk
kdk = dtk = ktd
7e
9e
v+e+f
needled kis
tn
dkdkd = dkt = tkd
7e
9e
v+e+f
truncate needle
tt
dkkd
7e
9e
v+e+f
двойная операция truncate
kk
dttd
v+2e+f
9e
6e
двойная операция kis
nt
kkd = dtt
v+e+f
9e
7e
needle truncate
tz
dkk = ttd
6e
9e
v+2e+f
truncate zip
ke
kaa
v+3e+f
12e
8e
Kis expand
to
dkaa
8e
12e
v+3e+f
truncate ortho
ek
aak
6e
12e
v+5e+f
expand kis
ok
daak = dek
v+5e+f
12e
6e
ortho kis
et
aadkd
6e
12e
v+5e+f
расширенная операция truncate
ot
daadkd = det
v+5e+f
12e
6e
ortho truncate
te or ba
dkdaa
8e
12e
v+3e+f
truncate expand
ko or ma
kdaa = dte ma = mj
v+3e+f
12e
8e
kis ortho
ab or am
aka = ata
6e
12e
v+5e+f
ambo bevel
jb or jm
daka = data
v+5e+f
12e
6e
joined bevel
ee
aaaa
v+7e+f
16e
8e
double-expand
oo
daaaa = dee
8e
16e
v+7e+f
double-ortho
Хиральные производные операции
Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.
Оператор(ы)
d
a
k
e
g
a&g
k&g
e&g
g&g
мультипликатор рёбер
1
2
3
4
5
10
15
20
25
Уникальных производных операторов
4
8
4
2
Хиральные порождённые операции
Оператор
Пример
Название
Построение
вершин
рёбер
граней
Описание
Затравка
v
e
f
Исходный многогранник
ag
as djsd = djs
v+4e+f
10e
5e
ambo gyro
jg
dag = js dasd = das
5e
10e
v+4e+f
joined gyro
ga
gj dsjd = dsj
v+5e+f
10e
4e
gyro ambo
sa
dga = sj dgjd = dgj
4e
10e
v+5e+f
snub ambo
kg
dtsd = dts
v+4e+f
15e
10e
kis gyro
ts
dkgd = dkg
10e
15e
v+4e+f
truncated snub
gk
dstd
v+8e+f
15e
6e
gyro kis
st
dgkd
6e
15e
v+8e+f
snub truncation
sk
dgtd
v+8e+f
15e
6e
snub kis
gt
dskd
6e
15e
v+8e+f
gyro truncation
ks
kdg dtgd = dtg
v+4e+f
15e
10e
kis snub
tg
dkdg dksd
10e
15e
v+4e+f
truncated gyro
eg
es aag
v+9e+f
20e
10e
expanded gyro
og
os daagd = daag
10e
20e
v+9e+f
expanded snub
ge
go gaa
v+11e+f
20e
8e
gyro expand
se
so dgaad = dgaa
8e
20e
v+11e+f
snub expand
gg
gs dssd = dss
v+14e+f
25e
10e
double-gyro
ss
sg dggd = dgg
10e
25e
v+14e+f
double-snub
Расширенные операторы
Эти расширенные операторы нельзя создать в общем виде с помощью выше перечисленных базовых операций. Некоторые операторы могут быть созданы как частные случаи с k и t операторами, но применённые к определённым граням и вершинам. Например, куб со снятой фаской, cC, может быть построен как t4daC, как ромбододекаэдр, daC или jC с усечёнными вершинами валентности 4. Поднятый кубlC — это то же самое, что t4kC, квинтододекаэдр qD можно построить как t5daaD, t5deD или t5oD, a дельтоидальный гексеконтаэдр можно построить как deD или oD с усечением вершин с валентностью 5.
Некоторые расширенные операторы образуют последовательность и даны с последующим числом. Например, ortho делит квадратную грань на 4 квадрата, а o3 может делить на 9 квадратов. o3 является уникальным построением, в то время как o4 можно получить как oo, оператор ortho, применённый дважды. Оператор loft может включать индекс подобно оператору kis, чтобы ограничить применение на грани с указанным числом сторон.
Операция chamfer (снятие фаски) создаёт многогранник Голдберга[англ.] G(2,0) с новыми шестиугольниками между исходными гранями. Последовательные операции chamfer создают G(2n,0).
Операция ortho с последующим усечением вершин, находящихся в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых пятиугольника для каждого исходного ребра.
Аналогична операции lace, но с новыми четырёхугольными гранями на месте исходных рёбер
L Ln
Lace
v+2e
7e
f+4e
Расширение каждой грани антипризмой, добавление повёрнутой меньшей копии каждой грани с треугольниками между старой и новой гранями. Индекс может быть добавлен для ограничения операции на грани с указанным числом сторон.
dL dLn
f+4e
7e
v+2e
Оператор dual после laced
Ld Ldn
f+2e
7e
v+4e
Оператор lace после dual
dLd dLnd
v+4e
7e
f+2e
Последовательность операций dual, lace, dual
K Kn
staKe
v+2e+f
7e
4e
Подразделение граней с центральными чётырёхугольниками и треугольниками. Может быть добавлен индекс для ограничения операции на грани с определённым числом сторон.
Триангуляция с добавлением 3 вершин на каждое ребро и вершины в центр каждой грани.
u5
subdivide-5
v+8e
25e
f+16e
Рёбра делятся на 5 частей Этот оператор делит рёбра и грани так, что образуется 6 треугольников вокруг каждой новой вершины.
Расширенные хиральные операторы
Эти операторы нельзя создать в общем виде из перечисленных выше базовых операций. Художник-геометр Харт[англ.] создал операцию, которую он назвал пропеллер.
p – «propeller» = пропеллер (оператор вращения, создающий четырёхугольники на месте вершин). Эта операция самодвойственна: dpX=pdX.
Расширенные хиральные операции
Оператор
Пример
Название
Альтернативное построение
вершины
рёбра
грани
Описание
«Затравка»
v
e
f
Исходный многогранник
p rp=p
propellor
v + 2e
5e
f + 2e
Операция gyro, после которой выполняется ambo на вершинах в центрах исходных граней
-
-
dp = pd
f + 2e
5e
v + 2e
Те же вершины, что и в gyro, но на месте исходных вершин образуются грани
-
4e
7e
v+2e+f
Операция подобна snub, но по периметру исходных граней идут пятиугольники, а не треугольники
-
-
-
v+2e+f
7e
4e
w=w2=w2,1 rw=w
whirl
v+4e
7e
f+2e
Операция gyro с последующим усечением вершин в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[англ.] (2,1) Производный оператор wrw преобразует G(a,b) в G(7a,7b).
v rv=v
volute
dwd
f+2e
7e
v+4e
Оператор dual после whirl, или snub с последующей операцией kis на исходных гранях. Полученный оператор vrv преобразует геодезический многогранник (a,b) в (7a,7b).
g3 rg3=g3
gyro-3
v+6e
11e
f+4e
Операция gyro создаёт 3 пятиугольника вдоль каждого исходного ребра
s3 rs3=s3
snub-3
dg3d = dg3
f+4e
11e
v+6e
Операция dual после gyro-3, операция snub, делящая рёбра на 4 срединных треугольника и с треугольниками на месте исходных вершин
Эти операции расширения оставляют исходные рёбра и позволяют применять оператор к любому независимому подмножеству граней. Нотация Конвея поддерживает дополнительный индекс для этих операций, указывающий число сторон у вовлечённых в операцию граней.
Операторы Коксетера/Джонсона[англ.] иногда полезны при смешении с операторами Конвея. Для ясности в нотации Конвея эти операции даны заглавными буквами. t-Нотация Коксетера определяет активные кружки как индексы диаграммы Коксетера — Дынкина. Таким образом, в таблице заглавная T с индексами 0,1,2 определяет однородные операторы из правильной затравки. Нулевой индекс представляет вершины, 1 представляет рёбра, а 2 представляет грани. При T = T0,1 это будет обычным усечением, а R = T1 является полным усечением, или операцией rectify, то же самое, что и оператор Конвея ambo. Например, r{4,3} или t1{4,3} является именем Коксетера для кубооктаэдра, а полноусечённый куб — это RC, то же самое, что ambo куб Конвея, aC.
Оператор semi или demi Коксетера, H (от Half), уменьшает число сторон каждой грани вдвое, а четырёхугольные грани в двуугольники с двумя рёбрами, соединяющими две вершины, и эти два ребра могут быть заменены или не заменены одним ребром. Например, половинка куба, h{4,3}, полукуб, — это HC, представляющий один из двух тетраэдров. Ho сокращает ortho в ambo/Rectify.
Другие semi-операторы (полуоператоры) можно определить с использованием оператора H. Конвей называет оператор Snub (плосконосое усечение) КоксетераS, semi-snub (полуплосконосым усечением), определённым как Ht. Оператор snubs Конвея определяется как SR. Например, SRC — это плосконосый куб, sr{4,3}. Плосконосый октаэдр Коксетера, s{3,4} можно определить как SO, построение пиритоэдральной симметрии для правильного икосаэдра. Это также согласуется с определением правильнойплосконосой квадратной антипризмой как SA4.
Оператор semi-gyro, G, определяется как dHt. Это позволяет определить оператор поворачивания Конвея g (gyro) как GR. Например, GRC — это gyro-куб, gC, или пентагональный икоситетраэдр. GO определяет пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией, в то время как gT (gyro tetrahedron, гиротетраэдр) определяет тот же самый топологический многогранник с тетраэдральной симметрией.
Оба оператора S и G требуют, чтобы затравочный многогранник имел вершины чётной валентности. Во всех этих полуоператорах имеется два выбора для альтернации вершин для оператора half. Эти две конструкции в общем случае топологически не тождественны. Например, HjC определяет либо куб, либо октаэдр, в зависимости от того, какой набор вершин выбирается.
Другие операторы применимы только к многогранникам с гранями, имеющими чётное число рёбер. Простейшим оператором является semi-join, который является сопряжённым с оператором half, dHd.
Оператор semi-ortho, F, сопряжён с semi-snub. Он добавляет вершину в центр грани и делит пополам все рёбра, но соединяет новыми рёбрами центр только с половиной рёбер, создавая тем самым новые шестиугольные грани. Исходные квадратные грани не требуют наличия центральной вершины, а требует только одно ребро через грань, создающее пару пятиугольников. Например, двенадцатигранник тетартоид может быть построен как FC.
Полуоператоры на многогранниках с гранями, имеющими чётное число сторон
Оператор
Пример (Затравка — куб)
Название
Альтернативное построение
вершин
рёбер
граней
Описание
H = H1 H2
semi-ambo Half 1 и 2
v/2
e-f4
f-f4+v/2
Альтернирование[англ.], удаление половины вершин. Четырёхугольные грани (f4) редуцируются до одиночных рёбер.
I = I1 I2
semi-truncate 1 и 2
v/2+e
2e
f+v/2
Усекает каждую вторую вершину
semi-needle 1 и 2
dI
v/2+f
2e
e+v/2
Операция needle каждой второй вершины
F = F1 F2
semi-ortho Flex 1 и 2
dHtd = dHz dSd
v+e+f-f4
3e-f4
e
Операция dual после semi-expand — создаются новые вершины на рёбрах и в центрах граней, 2n-угольники делятся на n шестиугольников, четырёхугольные грани (f4) не будут содержать центральной вершины, так что образуется две пятиугольные грани.
E = E1 E2
semi-expand Eco 1 и 2
Htd = Hz dF = Sd dGd
e
3e-f4
v+e+f-f4
Операция dual после semi-ortho — создаются новые треугольные грани. Исходные грани заменяются многоугольниками с половиной сторон, четырёхугольники (f4) при этом редуцируются до одиночных рёбер.
Поочерёдная операция medial относительно диагоналей
semi-medial 3 и 4
v+e+f
5e
3e
Поочерёдная операция medial относительно медиан (соединяющих середины противоположных сторон)
semi-bevel 1 и 2
dXdH = dXJd
3e
5e
v+e+f
Поочерёдная операция bevel относительно диагоналей
semi-bevel 3 и 4
3e
5e
v+e+f
Поочерёдная операция bevel относительно медиан
Полуоперации на многогранниках с вершинами чётной валентности
Оператор
Пример (Затравка — октаэдр)
Название
Альтернативное построение
вершин
рёбер
граней
Описание
J = J1 J2
semi-join 1 и 2
dHd
v-v4+f/2
e-v4
f/2
Оператор, сопряжённый с half, оператор join на чередующихся гранях. 4-валентные вершины (v4) редуцируются до 2-валентных и заменяются одним ребром.
semi-kis 1 и 2
dId
v+f/2
2e
f/2+e
Операция kis на половине (поочерёдно, не соприкасающихся по ребру) граней
semi-zip 1 и 2
Id
f/2+e
2e
v+f/2
Операция zip на половине граней
S = S1 S2
semi-snub 1 и 2
Ht dFd
v-v4+e
3e-v4
f+e
Операция dual после semi-gyro — операция snub, вращение исходных граней с добавлением новых треугольных граней в получающиеся зазоры.
G = G1 G2
semi-gyro 1 и 2
dHt dS = Fd dEd
f+e
3e-v4
v-v4+e
Операция dual после semi-snub — создаются пятиугольные и шестиугольные грани вдоль исходных рёбер.
semi-medial 1 и 2
XdHd = XJ
3e
5e
v+e+f
Операция medial на половине (не соприкасающихся ребром) граней
semi-bevel 1 и 2
dXdHd = dXJ
v+e+f
5e
3e
Операция bevel на половине (не соприкасающихся ребром) граней
Подразделения
Операция subdivision (подразделения) делит исходные рёбра на n новых рёбер, а внутренность граней заполняется треугольниками или другими многоугольниками.
Квадратное подразделение
Оператор ortho можно применить в серии степеней двойки четырёхугольных подразделений. Другие подразделения могут быть получены как результат факторизованных подразделений. Оператор propeller, применённый последовательно, даёт 5-орто подразделение. Если затравка имеет нечетырёхугольные грани, они остаются как уменьшенные копии для нечётных операторов ortho.
Примеры на кубе
Ortho
o2=o
o3
o4=o2
o5 =prp
o6=oo3
o7
o8=o3
o9=o32
o10=oo5 =oprp
Пример
Вершины
v
v+e+f
v+4e
v+7e+f
v+12e
v+17e+f
v+24e
v+31e+f
v+40e
v+63e+f
Рёбра
e
4e
9e
16e
25e
36e
49e
64e
81e
128e
Грани
f
2e
f+4e
8e
f+12e
18e
f+24e
32e
f+40e
64e
Expand (dual)
e2=e
e3
e4=e2
e5 =dprp
e6=ee3
e7
e8=e3
e9=e32
e10=ee5 =doprp
Пример
Хиральное шестиугольное подразделение
Оператор whirl создаёт многогранник Голдберга[англ.] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины. Две последовательные операции whirls создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b и тем же самым хиральным направлением. Если хиральные направления обратны, G(a,b) превращается в G(2a+3b,a-2b) при a>=2b и в G(3a+b,2b-a) при a<2b.
Операторы whirl-n образуют многогранники Голдберга (n,n-1) и могут быть определены путём деления рёбер затравочного многогранника на 2n-1 подрёбер.
Результат операции whirl-n и ей обратной образует (3n2-3n+1,0) многогранник Голдберга[англ.]. wrw образует (7,0), w3rw3 образует (19,0), w4rw4 образует (37,0), w5rw5 образует (61,0), а w6rw6 образует (91,0). Результат двух операций whirl-n — это ((n-1)(3n-1),2n-1) или (3n2-4n+1,2n-1). Произведение wa на wb даёт (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), а wa на обратный wb даёт (3ab-a-2b+1,a-b) для a≥b.
Произведение двух идентичных операторов whirl-n образует многогранник Голдберга ((n-1)(3n-1),2n-1). Произведение k-whirl и zip — это (3k-2,1).
Операторы Конвея на многогранниках могут построить многие из этих подразделений.
Если все исходные грани являются треугольниками, новые многогранники будут также иметь все грани в виде треугольников, и на месте исходных граней создаются треугольные мозаики. Если исходные многогранники имеют грани с бо́льшим числом сторон, все новые грани не обязательно будут треугольниками. В таких случаях к многограннику сначала можно применить операцию kis с новыми вершинами в центре каждой грани.
Операции Конвея могут дублировать некоторые многогранники Голдберга и двойственные геодезическим многогранникам. Число вершин, рёбер и граней многогранника Голдберга[англ.]G(m,n) можно вычислить исходя из m и n и число новых треугольников в каждом исходном треугольнике вычисляется по формуле T = m2 + mn + n2 = (m + n)2 − mn. Построения (m,0) и (m,m) перечислены ниже обозначения операций Конвея.
Класс I
Для двойственных многогранников Голдберга оператор uk определяется здесь как деление граней с подразделением рёбер на k частей. При этом оператор Конвея u = u2, а его сопряжённый оператор dud является оператором chamfer, c. Этот оператор используется в компьютерной графике, в схеме Лупа подразделения поверхности[англ.]. Оператор u3 задаётся оператором Конвея kt=x, а его сопряжённый оператор y=dxd=tk. Произведение двух whirl операторов с обращением хиральности, wrw или ww, даёт 7-подразделение в виде многогранника Голдберга[англ.] G(7,0), так что u7=vrv. Более мелкие подразделения и операции whirl в хиральных парах могут построить дополнительные формы класса I. Операция w(3,1)rw(3,1) даёт многогранник Голдберга G(13,0). Операция w(3,2)rw(3,2) даёт G(19,0).
Class I: Операции подразделения на икосаэдре как геодезические многогранники
Может быть определено также ортогональное подразделение, используя оператор n=kd. Оператор преобразует геодезический многогранник[англ.] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Он преобразует (a,0) в (a,a), а (a,a) в (3a,0). Оператор z=dk делает то же самое для многогранников Голдберга.
Большинство геодезических многогранников и двойственные к многогранникам Голдберга G(n,m) нельзя построить с помощью операторов, производных от операторов Конвея. Операция whirl создаёт многогранник Голдберга[англ.] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины, а n-whirl образует G(n,n-1). На формах с икосаэдральной симметрией t5g эквивалентен в этом случае whirl. Операция v (=volute = виток, оборот) представляет треугольное подразделение, двойственное whirl. На икосаэдральных формах операция может быть осуществлена с помощью производного оператора k5s, pentakis snub.
Две последовательные операции whirl создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b с тем же самым хиральным направлением. Если хиральное направление обратное, G(a,b) становится G(2a+3b,a-2b) для a>=2b, и G(3a+b,2b-a) для a<2b.
Класс III: Операции подразбиения на неравные части
Тороидальные мозаики существуют на плоском торе, на поверхности дуоцилиндра[англ.] в четырёхмерном пространстве, но могут быть спроектированы в трёхмерное пространство как обычный тор. Эти мозаики топологически подобны подмножествам мозаик евклидовой плоскости.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass.Chapter 21: Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and Tilings // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.