Двойная серпоротонда

Двойная серпоротонда
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	14 граней 26 рёбер 14 вершин Χ = 2
Грани	8 треугольников 2 квадрата 4 пятиугольника
Конфигурация вершины	4(3.5^2) 8(3.4.3.5) 2(3.5.3.5)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J91, М8
Группа симметрии	D2h
Медиафайлы на Викискладе

Двойна́я серпорото́нда[1][2] — один из многогранников Джонсона (J₉₁, по Залгаллеру — М₈).

Составлена из 14 граней: 8 правильных треугольников, 2 квадратов и 4 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена пятиугольной и четырьмя треугольными; каждая квадратная — четырьмя треугольными; каждая треугольная — двумя пятиугольными и квадратной.

Имеет 26 рёбер одинаковой длины. При 4 рёбрах между треугольной и квадратной гранями двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },}$ при других 4 рёбрах между треугольной и квадратной гранями ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 110{,}91^{\circ };}$ при 8 рёбрах между треугольной и пятиугольной гранями ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ },}$ при других 8 рёбрах между треугольной и пятиугольной гранями ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 100{,}81^{\circ };}$ при 2 рёбрах между двумя пятиугольными гранями ${\displaystyle \arccos \,{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63{,}43^{\circ }.}$

У двойной серпоротонды 14 вершин. В 2 вершинах сходятся две пятиугольных грани и две треугольных; в 4 вершинах (расположенных как вершины прямоугольника) — две пятиугольных и одна треугольная; в остальных 8 (расположенных как вершины прямоугольного параллелепипеда) — пятиугольная, квадратная и две треугольных.

Двойная серпоротонда, совершающая полный оборот шагами по 15°

Метрические характеристики

Если двойная серпоротонда имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 12{,}3460112a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}\left(17+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 3{,}0937176a^{3}.}$

В координатах

Двойную серпоротонду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты[2]

• ${\displaystyle (0;\;0;\;\pm \Phi ),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi +1);\;\pm 1;\;0),}$
• ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm 1),}$

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, все три его оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, все три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Родство с архимедовыми телами

С икосододекаэдром

Рассмотрим комплекс из двух пятиугольных и двух треугольных граней двойной серпоротонды, сходящихся в общей вершине; таких четырёхгранных комплекса у многогранника два. Точно такие же комплексы имеются у икосододекаэдра.

Если вписать две двойных серпоротонды в икосододекаэдр с той же длиной ребра, совместив названные четырёхгранные комплексы каждой с аналогичными противоположными друг другу комплексами икосододекаэдра, то противоположные названным комплексам вершины двойных серпоротонд встретятся точно в центре икосододекаэдра.

С ромбоикосододекаэдром

Грани двойной серпоротонды, не входящие в описанные в предыдущем разделе комплексы, в свою очередь, составляют два комплекса из квадратной грани и двух примыкающих к ней треугольных. Точно такие же комплексы имеются у ромбоикосододекаэдра.

Если вписать две двойных серпоротонды в ромбоикосододекаэдр с той же длиной ребра, совместив названные трёхгранные комплексы каждой с аналогичными противоположными друг другу комплексами ромбоикосододекаэдра, то противоположные названным комплексам квадратные грани двойных серпоротонд окажутся расположены друг напротив друга как две грани куба, — который можно будет поместить между ними, и его центр совпадет с центром ромбоикосододекаэдра.

Заполнение пространства

С помощью двойных серпоротонд, кубов и правильных додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений, как показано на иллюстрациях.

6 двойных серпоротонд вокруг куба

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 24.
2. А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда.  (PDF) Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, выпуск 2. — Стр. 187—188, 204. (Архивная копия от 30 августа 2021 на Wayback Machine)

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Двойная серпоротонда (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Двойная серпоротонда в базе знаний Wolfram Alpha