Символ Шлефли

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, описавшего все правильные многогранники в евклидовом пространстве произвольной размерности.

Построение

Символ Шлефли для правильного многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ размерности ${\displaystyle n}$ записывается в виде ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{n-1}\}}$. Он индуктивно определяется следующим образом:

1. Определим ${\displaystyle p_{1}}$как число сторон двумерной грани многогранника ${\displaystyle \Gamma }$.
2. Выберем одну из вершин ${\displaystyle P}$ многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ и рассмотрим все вершины ${\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{k}}$, соединённые с ней ребром. Заметим, что вершины ${\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{k}}$ лежат на гиперплоскости ${\displaystyle H}$, ортогональной прямой, соединяющей центр многогранника с ${\displaystyle P}$. Сечение многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ с гиперплоскостью ${\displaystyle H}$ представляет собой правильный многогранник ${\displaystyle \Gamma '}$ размерности ${\displaystyle n-1}$. Поскольку все вершины ${\displaystyle \Gamma }$ равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины ${\displaystyle P}$. Определим ${\displaystyle p_{2}}$ как число сторон двумерной грани многогранника ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$.
3. Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника ${\displaystyle \Gamma }$.

Заметим, что символ Шлефли ${\displaystyle n}$-мерного многогранника состоит из ${\displaystyle n-1}$ целого числа, каждое из которых не меньше 3.

Примеры

Размерность пространства	Символ Шлефли	Многогранник
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \{\}}$	Отрезок
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{3\}}$	Правильный треугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{4\}}$	Правильный четырёхугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{5\}}$	Правильный пятиугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{6\}}$	Правильный шестиугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{n\}}$	Правильный n-угольник
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,3\}}$	Правильный тетраэдр
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{4,3\}}$	Куб
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,4\}}$	Октаэдр
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,5\}}$	Правильный икосаэдр
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{5,3\}}$	Правильный додекаэдр
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,3\}}$	Пятиячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{4,3,3\}}$	Тессеракт
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,4\}}$	Шестнадцатиячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,4,3\}}$	Двадцатичетырёхъячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{5,3,3\}}$	Стодвадцатиячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,5\}}$	Шестисотячейник
${\displaystyle \geqslant 5}$	${\displaystyle \{3,...,3\}}$	Симплекс
${\displaystyle \geqslant 5}$	${\displaystyle \{3,...,3,4\}}$	Гипероктаэдр
${\displaystyle \geqslant 5}$	${\displaystyle \{4,3,...,3\}}$	Гиперкуб

См. также

• Формула Шлефли
• Эйлерова характеристика
• Правильные N-мерные многогранники

Литература

• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Архивная копия от 31 марта 2020 на Wayback Machine