Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр

Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	52 грани 105 рёбер 55 вершин Χ = 2
Грани	15 треугольников 25 квадратов 11 пятиугольников 1 десятиугольник
Конфигурация вершины	5x2(4.5.10) 5x2(3.4^2.5) 3+16x2(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J78, М13+М6+М6
Группа симметрии	Cs

Ко́со скру́ченный отсечённый ромбоикосододека́эдр[1] — один из многогранников Джонсона (J₇₈, по Залгаллеру — М₁₃+М₆+М₆).

Составлен из 52 граней: 15 правильных треугольников, 25 квадратов, 11 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 3 окружены десятиугольной и четырьмя квадратными, 2 — десятиугольной, тремя квадратными и треугольной, 3 — пятью квадратными, остальные 3 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 1 окружена десятиугольной, двумя пятиугольными и квадратной, 4 — десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, 4 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, 11 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, остальные 5 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены пятиугольной и двумя квадратными, остальные 10 — тремя квадратными.

Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 45 рёбер — между пятиугольной и квадратной, 5 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя квадратными, остальные 40 — между квадратной и треугольной.

У косо скрученного отсечённого ромбоикосододекаэдра 55 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 45 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём две части — любые два не противолежащих и не пересекающихся пятискатных купола (J₅), — и один из них удалив, а другой повернув на 36° вокруг его оси симметрии. Описанная и полувписанная сферы полученного многогранника совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр — один из четырёх наименее симметричных многогранников Джонсона (наряду с J₇₉, J₈₂ и J₈₇): его группа симметрии C_s состоит из тождественного преобразования и одной зеркальной симметрии.

Метрические характеристики

Если косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+\left(10+11{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 58{,}1146508a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left(115+54{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 39{,}2912785a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.}$

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 23.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.