Клинокорона

Клинокорона
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	14 граней 22 ребра 10 вершин Χ = 2
Грани	12 треугольников 2 квадрата
Конфигурация вершины	4(3^3.4) 2(3^2.4^2) 2x2(3^5)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J86, М22
Группа симметрии	C2v
Медиафайлы на Викискладе

Клинокоро́на[1][2] — один из многогранников Джонсона (J₈₆, по Залгаллеру — М₂₂).

Составлена из 14 граней: 12 правильных треугольников и 2 квадратов. Каждая квадратная грань окружена одной квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 6 окружены одной квадратной и двумя треугольными, другие 6 — тремя треугольными.

Имеет 22 ребра одинаковой длины. 1 ребро располагается между двумя квадратными гранями, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 15 — между двумя треугольными.

У клинокороны 10 вершин. В 2 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 4 вершинах (расположенных как вершины прямоугольника) — одна квадратная и три треугольных; в остальных 4 — пять треугольных.

Метрические характеристики

Если клинокорона имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(2+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7{,}1961524a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}\;a^{3}\approx 1{,}5153516a^{3}.}$

В координатах

Вид сбоку (проекция на плоскость yOz)

Вид сверху (проекция на плоскость xOy)

Клинокорону с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты[2]

• ${\displaystyle \left(0;\;\pm 1;\;2{\sqrt {1-\xi ^{2}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 2\xi ;\;\pm 1;\;0\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;\pm \left(1+{\frac {\sqrt {3-4\xi ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}\right);\;{\frac {1-2\xi ^{2}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;0;\;-{\sqrt {2+4\xi -4\xi ^{2}}}\right),}$

где ${\displaystyle \xi }$ — меньший положительный корень уравнения

${\displaystyle 60x^{4}-48x^{3}-100x^{2}+56x+23=0;}$

данный корень равен[3]

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{5}}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {6}}}+{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(71-19{\sqrt {6}}\right)}}\;\right)\approx 0{,}8527269.}$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 24.
2. А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда  (PDF) / Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, выпуск 2. — Стр. 190—192. (Архивная копия от 30 августа 2021 на Wayback Machine)
3. См. решение уравнения.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Клинокорона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Клинокорона в базе знаний Wolfram Alpha (Архивная копия от 11 июня 2016 на Wayback Machine)