Удлинённая четырёхугольная бипирамида

Удлинённая четырёхугольная бипирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	12 граней 20 рёбер 10 вершин Χ = 2
Грани	8 треугольников 4 квадрата
Конфигурация вершины	2(3^4) 8(3^2.4^2)
Двойственный многогранник	square bifrustum^[вд]
Развёртка
Классификация
Обозначения	J15, М2+П4+М2
Группа симметрии	D4h

Удлинённая четырёхуго́льная бипирами́да[1] — один из многогранников Джонсона (J₁₅, по Залгаллеру — М₂+П₄+М₂).

Составлена из 12 граней: 8 правильных треугольников и 4 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная — одной квадратной и двумя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 4 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 8 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 8 — между двумя треугольными.

У удлинённой четырёхугольной бипирамиды 10 вершин. В 8 вершинах (расположенных как вершины куба) сходятся две квадратных грани и две треугольных; в остальных 2 — четыре треугольных.

Удлинённую четырёхугольную бипирамиду можно получить из трёх многогранников — куба и двух квадратных пирамид, все рёбра у которых одинаковой длины (J₁), — приложив основания пирамид к двум противоположным граням куба.

Метрические характеристики

Если удлинённая четырёхугольная бипирамида имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(4+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7{,}4641016a^{2},}$

${\displaystyle V=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)a^{3}\approx 1{,}4714045a^{3}.}$

В координатах

Удлинённую четырёхугольную бипирамиду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right)\right).}$

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три из пяти осей симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три из пяти плоскостей симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Заполнение пространства

Замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений при помощи многогранников Джонсона J₁₅ нельзя. Если, однако, немного деформировать удлинённую четырёхугольную бипирамиду, превратив равносторонние треугольники в равнобедренные с отношением сторон ${\displaystyle 2:{\sqrt {3}}:{\sqrt {3}},}$ получим многогранник, изоморфный J₁₅, для которого заполнение пространства становится возможным:

На иллюстрации копии многогранника окрашены в три разных цвета в соответствии с их различной ориентацией в пространстве.

В природе и культуре

В форме удлинённой четырёхугольной бипирамиды и близких к ней многогранников встречаются кристаллы циркона:

• 
• 
• 
  Под электронным микроскопом

На гравюре Маурица Эшера «Звёзды» (1948) присутствует (у середины верхнего края) многогранник, изоморфный J₁₅ — несколько «сжатый» так, что вместо квадратных граней у него прямоугольники.

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 20.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Удлинённая четырёхугольная бипирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.