Октеракт

Октеракт
Тип	Правильный восьмимерный политоп
Символ Шлефли	{4,3,3,3,3,3,3}
7-мерных ячеек	16
6-мерных ячеек	112
5-мерных ячеек	448
4-мерных ячеек	1120
Ячеек	1792
Граней	1792
Рёбер	1024
Вершин	256
Вершинная фигура	Правильный 7-симплекс
Двойственный политоп	8-ортоплекс

Октеракт, или 8-гиперкуб, или гексадеказеттон — восьмимерный гиперкуб, аналог куба в восьмимерном пространстве. Определяется как выпуклая оболочка 256 точек ${\displaystyle [\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1]}$.

Связанные политопы

Двойственное октеракту тело — 8-ортоплекс, восьмимерный аналог октаэдра.

Если применить к октеракту альтернацию (удаление чередующихся вершин), можно получить однородный восьмимерный многогранник, называемый полуоктеракт, который является представителем семейства полугиперкубов.

Свойства

Если у октеракта ${\displaystyle a}$ — длина ребра, то существуют следующие формулы для вычисления основных характеристик тела:

8-гиперобъём:

${\displaystyle V_{8}=a^{8}}$

7-гиперобъём гиперповерхности:

${\displaystyle V_{7}(hypersurface)=16a^{7}}$

Радиус описанной гиперсферы:

${\displaystyle R={a{\sqrt {2}}}}$

Радиус вписанной гиперсферы:

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$

Состав

Октеракт состоит из:

• 16 гептерактов,
• 112 гексерактов,
• 448 пентерактов,
• 1120 тессерактов,
• 1792 кубов или ячеек,
• 1792 квадратов или граней,
• 1024 отрезков или рёбер,
• 256 точек или вершин.

Визуализация

Октеракт можно визуализировать либо параллельным, либо центральным проецированием. В первом случае обычно применяется косоугольная параллельная проекция, которая представляет собой 2 равных гиперкуба размерности n-1, один из которых может быть получен в результате параллельного переноса второго (для октеракта это 2 гептеракта), вершины которых попарно соединены. Во втором случае обычно используют диаграмму Шлегеля, которая выглядит как гиперкуб размерности n-1, вложенный в гиперкуб той же размерности, у которых вершины также попарно соединены (для октеракта проекция представляет собой гептеракт, вложенный в другой гептеракт).

Ссылки

• Кокстер, Правильные политопы, (третье издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
• Джордж Ольшевски. Glossary for Hyperspace (Словарь терминов многомерной геометрии)