Гиперобъём

Гиперобъём — некоторая мера (обычно мера Лебега), сопоставляемая внутренности «гипертел» (тел в многомерном пространстве), обобщение трёхмерного объёма. Аналогичная мера для границы гипертела называется гиперплощадь.

Вычисление

Существует несколько компьютерных алгоритмов вычисления гиперобъёма. См. Алгоритмы точного вычисления гиперобъема.

Точное вычисление значения гиперобъёма множества из d точек n-мерного пространства является #P-трудной задачей.[1]

Гиперобъём некоторых тел

Тело	Точное определение	Гиперобъём
Гиперкуб	выпуклая оболочка точек ${\displaystyle (\underbrace {\pm 1,\ldots ,\pm 1} _{n})}$	${\displaystyle V_{n}=2^{n}}$
Симплекс	выпуклая оболочка точек ${\displaystyle (\underbrace {0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0} _{n})}$ и начала координат	Определитель Кэли — Менгера
n-мерный шар	ГМТ, удалённых от центра на расстояние не больше r.	${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({n \over 2}+1)}}R^{n}\ }$
Гиперконус	Выпуклая оболочка ${\displaystyle n-1}$-мерного шара радиуса ${\displaystyle R}$ и точки ${\displaystyle (\underbrace {0,\ldots ,0} _{n-1},h)}$	${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{(n-1)/2}}{n\Gamma ({{n+1} \over 2})}}R^{n-1}h}$

В других областях

Существует т. н. «модель гиперобъёма» Дж. Э. Хатчинсона, согласно которой экологическая ниша представлена как n-мерный куб, на осях которого отложены экологические факторы.

В работе[2] детально рассматривается применение индикатора гиперобъема в эволюционных алгоритмах[3].

См. также

• Мера Лебега
• Гиперкуб

Примечания

1. Оценка сложности вычисления гиперобъема — Викиконспекты  (неопр.). Дата обращения: 20 июня 2022. Архивировано 12 ноября 2020 года.
2. Brockhoff D., Friedrich T., Neumann F. — Analyzing Hypervolume Indicator Based Algorithms  (неопр.). Дата обращения: 13 июля 2012. Архивировано 8 января 2013 года.
3. Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем — Викиконспекты  (неопр.). Дата обращения: 13 июля 2012. Архивировано 17 ноября 2020 года.