E₈ (математика)

$E_{8}$ — наибольшая особая простая группа Ли. $E_{8}$ была открыта Вильгельмом Киллингом в 1888—1890 годах, а современное её обозначение пришло из классификации простых алгебр Ли, которую ввели Эли Картан и Вильгельм Киллинг. Классификация выделяет четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли, обозначаемых $A_{n}$ , $B_{n}$ , $C_{n}$ , $D_{n}$ , и пять особых случаев, обозначаемых E₆, E₇, E₈, F₄ и G₂.

Описание

$E_{8}$ имеет ранг 8 и размерность 248 (как многообразие). Векторы системы корней определены в восьми измерениях.

Схема Дынкина

Схема Дынкина для E₈ имеет вид

Эта схема вкратце описывает строение системы корней. Каждый узел схемы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что они находятся под углом 120° друг к другу. Два простых корня, не соединённые линией, ортогональны.

Матрица Картана

Матрица Картана системы корней порядка r — это матрица $r\times r$ , элементы которой определяются простыми корнями следующим образом:

A_{ij}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}

где $(\cdot ,\cdot )$ — евклидово скалярное произведение, а $\alpha _{i}$ — простые корни. Элементы матрицы не зависят от выбора простых корней (с точностью до порядка).