Группа Пуанкаре

Гру́ппа Пуанкаре́ (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов ${\displaystyle x=x^{\mu }=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}}$ вида ${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }}$, где ${\displaystyle \Lambda }$ — преобразование из группы Лоренца, ${\displaystyle a^{\mu }}$ — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно записывается как ${\displaystyle \{a,\Lambda \}}$, а закон композиции имеет вид

${\displaystyle \{a_{1},\Lambda _{1}\}\{a_{2},\Lambda _{2}\}=\{a_{1}+\Lambda _{1}a_{2},\Lambda _{1}\Lambda _{2}\}.}$

Группа Пуанкаре относится к классу линейных неоднородных групп[1], обозначается как ${\displaystyle P}$ или ${\displaystyle IO(1,3)}$ и играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

• законов релятивистской кинематики,
• уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
• уравнения Дирака в теории электрона

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Таким образом, группа Пуанкаре характеризует фундаментальную симметрию наиболее важных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа ${\displaystyle P}$ имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями ${\displaystyle \det \Lambda }$ и знаком ${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}}$. Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента ${\displaystyle P}$, у которой ${\displaystyle \det \Lambda =1}$, ${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}>0}$, содержащая тождественное преобразование.

Группа ${\displaystyle P}$ — 10-параметрическая: к шести генераторам ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.

Примечания

1. Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. Изд-во URSS. 2018. 491 С.  (рус.) Дата обращения: 9 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.