Группа Янко J2

Группа Янко J₂, группа Холла — Янко (HJ) или группа Холла — Янко — Уэллса — это спорадическая группа порядка

   2^7 · 3^3 · 5^2 · 7 = 604800.

История и свойства

J₂ — это одна из 26 спорадических групп. Другое название — группа Холла — Янко — Уэллса. В 1969 Звонимир Янко предсказал J₂ как одну из двух простых групп, имеющих 2^1+4:A₅ в качестве централизатора инволюции (вторая — группа Янко J₃^[англ.]). Группу построили Холл и Уэллс[1] как группу перестановок ранга 3 100 точек.

Как мультипликатор Шура, так и группа внешних автоморфизмов^[англ.] имеют порядок 2.

J₂ является единственной из 4 групп Янко, являющейся подфактором^[англ.] монстра, так что группа является частью семейства, которое Роберт Грисс^[англ.] назвал счастливым. Поскольку группа обнаружена в группе Конвея Co1, она является также частью второго счастливого семейства.

Представления

J₂ является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов графа Холла — Янко, что ведёт к перестановочному представлению порядка 100. Группа является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов почти восьмиугольника Холла — Янко[2] что ведёт к перестановочному представлению порядка 315.

Группа имеет модулярное представление^[англ.] размерности шесть над полем из четырёх элементов. Если при характеристике два мы имеем w^2 + w + 1 = 0, то J₂ генерируется двумя матрицами

${\displaystyle {\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matrix}}\right)}$

и

${\displaystyle {\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matrix}}\right).}$

Эти матрицы удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.}$

J₂ является группой Гурвица^[англ.], конечным гомеоморфным образом группы треугольника (2,3,7).

Матричное представление, данное выше, формирует вложение в группу Диксона G₂(4). Имеется два класса смежности в G₂(4) и они эквивалентны по автоморфизму поля F₄. Их пересечение («действительная» подгруппа) является простой группой порядка 6048. G₂(4), в свою очередь, изоморфна подгруппе группе Конвея Co₁.

Максимальные подгруппы

Имеется 9 классов смежности максимальных подгрупп группы J₂. Некоторые описанные здесь в терминах действия на графе Холла — Янко.

• U₃(3) порядка 6048 – одноточечный стабилизатор с орбитами 36 и 63.

Простая группа, содержащая 36 простых подгрупп порядка 168 и 63 инволюций, все являются смежными классами, действующими на 80 точек. Указанные инволюции обнаруживаются в 12 168-подгрупп. Её централизатор имеет структуру 4.S₄, которая содержит 6 дополнительных инволюций.

• 3.PGL(2,9) порядка 2160 — имеет подфактор A₆
• 2^1+4:A₅ порядка 1920 — централизатор инволюции, действующей на 80 точек
• 2^2+4:(3 × S₃) порядка 1152
• A₄ × A₅ порядка 720.

Содержит 2^2 × A₅ (порядка 240), централизатор 3 инволюций, каждая действует на 100 точках

• A₅ × D₁₀ порядка 600
• PGL(2,7) порядка 336
• 5^2:D₁₂ порядка 300
• A₅ порядка 60

Классы сопряжённости

Максимальный порядок любого элемента не превосходит 15. Как перестановки, элементы действуют на 100 вершинах графа Холла — Янко.

Порядок	Элементов	Структура циклов и классов смежности
1 = 1	1 = 1	1 класс
2 = 2	315 = 3^2 • 5 • 7	2^40, 1 класс
	2520 = 2^3 • 3^2 • 5 • 7	2^50, 1 класс
3 = 3	560 = 2^4 • 5 • 7	3^30, 1 класс
	16800 = 2^5 • 3 • 5^2 • 7	3^32, 1 класс
4 = 2^2	6300 = 2^2 • 3^2 • 5^2 • 7	2^64^20, 1 class
5 = 5	4032 = 2^6 • 3^2 • 7	5^20, 2 класса
	24192 = 2^7 • 3^3 • 7	5^20, 2 класса
6 = 2 • 3	25200 = 2^4 • 3^2 • 5^2 • 7	2^43^66^12, 1 класс
	50400 = 2^5 • 3^2 • 5^2 • 7	2^26^16, 1 класс
7 = 7	86400 = 2^7 • 3^3 • 5^2	7^14, 1 класс
8 = 2^3	75600 = 2^4 • 3^3 • 5^2 • 7	2^34^38^10, 1 класс
10 = 2 • 5	60480 = 2^6 • 3^3 • 5 • 7	10^10, 2 класса
	120960 = 2^7 • 3^3 • 5 • 7	5^410^8, 2 класса
12 = 2^2 • 3	50400 = 2^5 • 3^2 • 5^2 • 7	3^24^26^212^6, 1 класс
15 = 3 • 5	80640 = 2^8 • 3^2 • 5 • 7	5^215^6, 2 класса

Примечания

1. Hall, Wales, 1968.
2. The near octagon on 315 points  (неопр.). Дата обращения: 4 сентября 2017. Архивировано 29 июля 2021 года.

Литература

• Robert L. Griess, Jr. Twelve Sporadic Groups. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer monograms in matematics). — ISBN 3-540-62778-2.
• Hall M., Wales D. The simple group of order 604,800 // Journal of Algebra. — 1968. — Т. 9. — С. 417–450. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(68)90014-8.
• Janko Z. Some new simple groups of finite order. I // Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1967/68). — Boston, MA: Academic Press, 1969. — Т. 1. — С. 25–64.
• Wales D.B. The uniqueness of the simple group of order 604800 as a subgroup of SL(6,4) // Journal of Algebra 11. — 1969. — С. 455–460.
• Wales D.B. Generators of the Hall–Janko group as a subgroup of G2(4) // Journal of Algebra. — 1969. — Т. 13. — С. 513–516. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(69)90113-6.

Ссылки

• MathWorld: Janko Groups Архивная копия от 5 сентября 2017 на Wayback Machine
• Atlas of Finite Group Representations: J₂
• The subgroup lattice of J₂