Группа Конвея Co1

Группа Конвея Co₁ — это спорадическая простая группа порядка

${\displaystyle 2^{21}{\cdot }3^{9}{\cdot }5^{4}{\cdot }7^{2}{\cdot }11{\cdot }13{\cdot }23}$

= 4157776806543360000

≈ 4⋅10^18.

История и свойства

Co₁ является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джоном Хортоном Конвеем в 1968. Группа является самой большой из трёх спорадических групп Конвея и может быть получена как факторгруппа Co₀ (группа автоморфизмов решётки Лича ${\displaystyle \Lambda }$, сохраняющих начало координат) по её центру, который состоит из скалярных матриц ±1[1]. Группа также возникает на вершине группы автоморфизмов чётной 26-мерной унимодулярной решётки II_25,1^[англ.]. Некоторые, не совсем понятные, комментарии в коллекции работ Витта позволяют полагать, что он нашёл решётку Лича и, возможно, порядок её группы автоморфизмов в неопубликованной работе 1940 года.

Группа внешних автоморфизмов^[англ.]группы Co₁ тривиальна, а мультипликатор Шура имеет порядок 2.

Инволюции

Co₀ имеет 4 класса смежности инволюций. Они стягиваются к 2 в Co₁, но есть 4-элементы в Co₀, которые соответствуют третьему классу инволюций в Co₁.

Образ 12-элементных множеств (додекады) имеет централизатор типа 2^11:M₁₂:2, который содержится в максимальной подгруппе типа 2^11:M₂₄.

Образ октад или 16-элементных множеств имеет централизатор вида 2^1+8.O₈^+(2), максимальная подгруппа.

Представления

Наименьшее точное перестановочное представление группы Co₁ состоит из 98280 пар {v,–v} векторов с нормой 4.

Централизатор инволюции типа 2B в монстре имеет вид ${\displaystyle 2^{1+24}\mathrm {Co} _{1}}$.

Диаграмма Дынкина чётной Лоренцевой унимодулярной решётки II_1,25^[англ.] изометрична (аффинной) решётке Лича ${\displaystyle \Lambda }$, так что группа авоморфизмов диаграммы является расщепляемым расширением ${\displaystyle \Lambda }$,Co₀ аффинных изометрий решётки Лича.

Максимальные подгруппы

Уилсон[2] нашёл 22 смежных классов максимальных подгрупп группы Co₁, хотя в его изначальном списке имеется несколько ошибок, которые он исправил позже[3].

• Co₂^[англ.]
• 3.Suz:2 Подъём до ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$ фиксирует комплексную структуру или изменяет её в сопряжённую структуру. Вершина башни Судзуки.
• 2^11:M₂₄ Подъём до ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$ фиксирует каркас векторов[4]. Образ мономиальной подгруппы[5] группы ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$
• Co₃^[англ.]
• ${\displaystyle 2^{1+8}.\mathrm {O} _{8}^{+}(2)}$ централизатор инволюции (образ октад из ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Lambda )}$)
• ${\displaystyle \mathrm {U} _{6}(2):\mathrm {S} _{3}}$
• ${\displaystyle (\mathrm {A} _{4}\times \mathrm {G} _{2}(4)):2}$ в цепочке Судзуки^[англ.][6].
• ${\displaystyle 2^{2+12}:(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{3})}$
• ${\displaystyle 2^{4+12}.(\mathrm {S} _{3}\times 3.\mathrm {S} _{6})}$
• ${\displaystyle 3^{2}.\mathrm {U} _{4}(3).\mathrm {D} _{8}}$
• 3^6:2.M₁₂ (голоморф троичного кода Голея)
• (A₅ × J₂):2 в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle 3^{1+4}:2.\mathrm {PSp} _{4}(3).2}$
• ${\displaystyle (\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {U} _{3}(3)).2}$ в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle 3^{3+4}:2.(\mathrm {S} _{4}\times \mathrm {S} _{4})}$
• ${\displaystyle \mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3}}$ в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle (\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {L} _{2}(7)):2}$ в цепочке Судзуки
• ${\displaystyle (\mathrm {D} _{10}\times (\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}).2).2}$
• ${\displaystyle 5^{1+2}:\mathrm {GL} _{2}(5)}$
• ${\displaystyle 5^{3}:(4\times \mathrm {A} _{5}).2}$
• ${\displaystyle 7^{2}:(3\times 2.\mathrm {S} _{4})}$
• ${\displaystyle 5^{2}:2\mathrm {A} _{5}}$

Примечания

1. Диагональная матрица, все элементы которой равны
2. Wilson, 1983.
3. Wilson, 1988.
4. Векторы длины 8 в решётке Лича распадаются на 48 пар взаимно перпендикулярных векторов, которые называются координатными парами (Wilson 2009).
5. Конечная группа G называется мономиальной или ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-группой, если все её неприводимые характеры индуцируются линейными характерами подгрупп группы G (Фёдоров 2007).
6. Цепочка Судзуки или башня Судзуки — это следующие группы перестановок ранга 3:${\displaystyle G_{2}(2)=U(3,3)\cdot 2,J_{2}\cdot 2,G_{2}(4),\mathrm {Suz} \cdot 2}$.

Литература

• John Horton Conway. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398.
• Theory of finite groups: A symposium / Brauer R., Chih-han Sah. — W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
• John Horton Conway. A group of order 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1969. — Т. 1. — С. 79–88. — ISSN 0024-6093. — doi:10.1112/blms/1.1.79.
• John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / Powell M. B., Graham Higman. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999, 267-298
• John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
• Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
• John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis R. T., Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
• Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
• Robert A. Wilson. The maximal subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1983. — Т. 85, вып. 1. — С. 144–165. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(83)90122-9.
• Robert A. Wilson. On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1988. — Т. 113, вып. 1. — С. 261–262. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(88)90192-5.
• Robert A. Wilson. The finite simple groups.. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2009. — (Graduate Texts in Mathematics 251). — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
• Фёдоров С. Н. Мономиальность конечных групп с некоторыми условиями на классы сопряжённых элементов // Фундамент. и прикл. матем.. — 2007. — Т. 13, вып. 5. — С. 201–212.

Ссылки

• MathWorld: Conway Groups Архивная копия от 29 октября 2017 на Wayback Machine
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ Архивная копия от 27 марта 2008 на Wayback Machine version 3