Алгоритм Тодда — Коксетера

В теории групп, алгоритм Тодда — Коксетера, найденный Дж. А. Тоддом и Г. Коксетером в 1936 году, является алгоритмом для решения проблемы перечисления смежных классов. Для конкретных задания группы ${\displaystyle G}$ и подгруппы ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$, алгоритм перечисляет смежные классы ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle H}$ и описывает представление перестановками ${\displaystyle G}$ на пространстве смежных классов.

Если порядок группы ${\displaystyle G}$ является относительно небольшим, и подгруппа ${\displaystyle H}$ является несложной (например, циклическая группа), то алгоритм может быть выполнен вручную и дает удобное описание группы ${\displaystyle G}$. Используя свой алгоритм, Коксетер и Тодд показали, что конкретные системы соотношений между порождающими элементами некоторых известных групп полны, то есть составляют систему определяющих соотношений.

Алгоритм Тодда-Коксетера может быть применен к бесконечным группам и завершается после конечного числа шагов при условии, что индекс ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ конечен. С другой стороны, в общем случае для пары, состоящей из задания группы и подгруппы, количество его шагов не ограничено никакой вычислимой функцией индекса подгруппы и размера данных.

Описание алгоритма

Выполнение алгоритма проходит следующим образом. Предположим это ${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle }$, где ${\displaystyle X}$ — множество образующих, ${\displaystyle R}$ — множество соотношений. Множество образующих ${\displaystyle X}$ и их инверсий обозначим ${\displaystyle X^{\prime }}$. Пусть ${\displaystyle H=\langle h_{1},h_{2},h_{3},...,h_{s}\rangle }$ где ${\displaystyle h_{i}}$ — элементы ${\displaystyle X^{\prime }}$. Есть три типа матриц, которые будут использоваться: смежный класс матриц, матрицы соотношения для каждого соотношения в ${\displaystyle R}$, и матрицы подгруппы для каждого множества образующих ${\displaystyle h_{i}}$ от ${\displaystyle H}$. Информация постепенно добавляется к этим матрицам, и как только они будут заполнены, все смежные классы будут перечислены, и алгоритм закончится. Смежный класс матриц используется, чтобы хранить соотношения между известными смежными классами при умножении множеством образующих. Это имеет ряды, представляющие смежные классы ${\displaystyle H}$ и колонки для каждого элемента ${\displaystyle X^{\prime }}$. Пусть ${\displaystyle C_{i}}$ обозначает смежные классы ${\displaystyle i}$-го ряда смежных классов матриц, и пусть ${\displaystyle g_{i}OX^{\prime }}$ обозначает множество образующих ${\displaystyle j}$-й колонки. Ввод смежных классов матриц последователен, ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ определены так, чтобы было (если известно) ${\displaystyle k}$, где ${\displaystyle k}$ — такое, что ${\displaystyle C_{k}=C_{i}g_{j}}$. Соотношения матриц используются, чтобы обнаружить, когда некоторые из смежных классов, которые мы нашли, фактически эквивалентны. Выполняется: одно соотношение матриц для каждого соотношения в ${\displaystyle R}$. Пусть ${\displaystyle 1=gn1,gn2,...,gnt}$ — соотношение в ${\displaystyle R}$, где gni ОX' . матриц соотношения имеет ряды, представляющие смежных классов H, как в смежных классов матриц. Это имеет ${\displaystyle t}$ колонки, и ввод в ${\displaystyle i}$-м ряду и ${\displaystyle j}$-й колонке определен, чтобы быть (если известно) ${\displaystyle k}$, где Ck=Cig1g2…gj. В частности i-й вход — первоначально i, пока ${\displaystyle gn1gn2...gnt=1}$. Наконец, матрицы подгруппы подобны матрицам соотношения, за исключением того, что они держат след возможных соотношений множества образующих H. Для каждого множества образующих hn=gn1gn2…gnt из H, с gniOH', мы создаем матрицу подгруппы. Это имеет только один ряд, соответствуя смежным классам H непосредственно. Это имеет t колонки, и вход в j-й колонке определен (если известно), чтобы быть k, где ${\displaystyle Ck=HCig1g2...gj}$ . Когда ряд соотношения или матриц подгруппы закончен, новая информация ${\displaystyle Ci=Cjg,gOH^{\prime }}$ найдена. Это известно как вычитание. От вычитания, мы можем быть в состоянии заполнить в дополнительных записях соотношения и матриц подгруппы, приводя к возможному дополнительному вычитанию. Мы можем заполниться в записях смежных классах матриц, соответствующего уравнениям ${\displaystyle Ci=Cjg}$ и ${\displaystyle Cj=Cig-1}$. Однако, заполняясь в смежных классах матриц, возможно, что мы можем уже иметь ввод для уравнения, но ввод имеет различную ценность. В этом случае, мы обнаружили, что два из наших смежных классов — фактически то же самое, известные как совпадение. Предположим ${\displaystyle Ci=Cj}$, с ${\displaystyle i<j}$ . Мы заменяем все случаи j в матриц с i. Тогда, мы заполняем во всех возможных записях матриц, возможно приводя к большему количеству вычитания и совпадений. Если есть пустые записи в матрице после всего вычитания, и о совпадениях заботились, добавляем новый смежный класс к матрице и повторяем процесс. Мы удостоверяемся, что, добавляя смежный класс, если Hx — известный смежный класс, то Hxg будет добавлен в некоторый момент для всех ${\displaystyle g\in H^{\prime }}$ . (Это необходимо, чтобы гарантировать, что алгоритм закончится обеспеченный ${\displaystyle |G:H|}$ конечен.) Когда все матрицы заполнены, алгоритм заканчивается. Мы получили всю информацию о действии G на смежные классы H.

Литература

• J.A. Todd, H.S.M. Coxeter, A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group. Proc. Edinb. Math. Soc., II. Ser. 5, 26-34 (1936). Zbl 0015.10103, JFM 62.1094.02
• H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser, Generators and relations for discrete groups. Fourth edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 14. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. ix+169 pp. ISBN 3-540-09212-9 MR0562913
• Г. С. М. Коксетер, У. О. Дж. Мозер Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М., Наука, 1980, — 240 с.
• Seress, A. «An Introduction to Computational Group Theory» Notices of the AMS, June/July 1997.