Преобразование Фурье на группах

См. также: Преобразование Фурье над конечным полем

Преобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.

Вспомогательные понятия

• Конечномерное представление группы ${\displaystyle G}$ — это отображение ${\displaystyle \pi :G\mapsto GL(V)}$ из ${\displaystyle G}$ в группу обратимых линейных преобразований векторного пространства ${\displaystyle V}$, такое что для любых ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$

${\displaystyle \pi (g_{1})\pi (g_{2})=\pi (g_{1}g_{2}).}$

Другими словами, ${\displaystyle \pi }$ — гомоморфизм групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle GL(V)}$.

• Представление называется унитарным если ${\displaystyle \pi (G)\subset U(V)}$, где ${\displaystyle U(V)}$ — группа унитарных преобразований пространства ${\displaystyle V}$.
• Представления ${\displaystyle \pi :G\mapsto GL(V)}$ и ${\displaystyle \rho :G\mapsto GL(V)}$ называются эквивалентными если переход от одного к другому может быть осуществлён равномерной сменой базиса, то есть если есть преобразование ${\displaystyle T\in GL(V)}$ такое что для любого ${\displaystyle g\in G}$

  ${\displaystyle T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)}$

• Представление ${\displaystyle \rho :G\mapsto GL(W)}$ называется подпредставлением представления ${\displaystyle \pi }$ если ${\displaystyle W}$ — подпространство ${\displaystyle V}$ и для любых ${\displaystyle g\in G}$ и ${\displaystyle w\in W}$

${\displaystyle \rho (g)w=\pi (g)w.}$

Другими словами, ${\displaystyle W}$ является инвариантным подпространством ${\displaystyle \pi (g)}$ и ${\displaystyle \rho (g)}$ — сужение ${\displaystyle \pi (g)}$ на ${\displaystyle W}$.

• Представление называется неприводимым если у него нет подпредставлений, кроме него самого и подпредставления, отображающего в нульмерное подпространство.

• Двойственным множеством ${\displaystyle {\hat {G}}}$ называется полное множество неэквивалентных неприводимых унитарных представлений ${\displaystyle G}$.

Определение

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle f\in L^{2}(G)}$ определяется как матричная функция ${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{2}({\hat {G}})}$ такая что

${\displaystyle {\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).}$

В таких обозначения, обратное преобразование записывается в виде

${\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}}[\pi (g){\hat {f}}(\pi )],}$ где ${\displaystyle d_{\pi }}$ — размерность линейного пространства, преобразования которого задаёт ${\displaystyle \pi (g)}$.

Мотивировка

В непрерывном случае преобразование Фурье ${\displaystyle {\hat {f}}}$ квадратично интегрируемой функции ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ соответствует разложению ${\displaystyle f(x)}$ по ортонормированному базису ${\displaystyle \{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \}}$ гильбертова лебегова пространства ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(y)e^{2\pi iyx}dy.}$

Преобразование Фурье периодической функции ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ соответствует её разложению по ортонормированному базису ${\displaystyle \{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \}}$ пространства ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$

${\textstyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ikx}.}$

Дискретное преобразование Фурье функции ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ соответствует разложению по ортонормированному базису ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\dots ,n-1\right\}}$ пространства ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

${\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^{\frac {2\pi ikj}{n}}}$

В общем случае, преобразование Фурье на группах соответствует разложению функции ${\displaystyle f\in L^{2}(G)}$ по некоторому ортонормированному базису ${\displaystyle L^{2}(G)}$.

Литература

• Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (англ.) — Cambridge University Press, 1999. — 456 p. — ISBN 978-0-511-62626-5 — doi:10.1017/CBO9780511626265
• Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (англ.) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering — 2019. — P. 21—28. — doi:10.1007/978-3-030-13697-0_2