Группа Матьё

Группы Матьё — это пять спорадических простых групп, M₁₁^[англ.], M₁₂^[англ.], M₂₂^[англ.], M₂₃^[англ.] и M₂₄^[англ.], введённые Эмилем Леонардом Матьё[1][2]. Группы являются кратно транзитивными группами перестановок 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это были первые открытые спорадические группы.

Иногда используются обозначения M₉, M₁₀, M₂₀ и M₂₁ для связанных групп (которые действуют на множествах с 9, 10, 20 и 21 точками, соответственно), а именно стабилизаторы точек в бо́льших группах. Хотя они не являются спорадическими простыми группами, они являются подгруппами бо́льших групп и могут быть использованы для их построения. Джон Конвей показал, что можно продолжить эту последовательность, получая группоид Матьё^[англ.] M₁₃, действующий на 13 точек. M₂₁ является простой, но не спорадической группой, будучи изоморфной PSL(3,4).

История

Матьё[3] ввёл группу M₁₂ как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и коротко упомянул (на стр. 274) группу M₂₄, указав её порядок. В статье 1873 года[2] он привёл дополнительные детали, включая явные порождающие множества для этих групп, но группу нелегко увидеть из его аргументов, что сгенерированные группы не просто знакопеременные группы и несколько лет существование групп было под сомнением. Миллер[4] даже опубликовал статью с ошибочным доказательством, что M₂₄ не существует, хотя вскоре после этого в статье 1900 года[5] он признал, что доказательство имело ошибки, и дал доказательство, что группы Матьё просты. Витт[6][7], наконец, прекратил сомнения о существовании этих групп путём построения их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также как группы автоморфизмов систем Штейнера.

После групп Матьё не было обнаружено новых спорадических групп до 1965, когда была открыта группа J₁^[англ.].

Кратно транзитивные группы

Матьё был заинтересован в нахождении кратно транзитивных групп перестановок. Для натурального числа k, группа перестановок G, действующая на n точек, является k-транзитивной, если при задании двух множеств точек a₁, … a_k и b₁, … b_k со свойством, что все a_i различны и все b_i различны, существует элемент g группы G, который отображает a_i в b_i для всех i от 1 до k. Такая группа называется остро k-транзитивной, если элемент g единственен (то есть действие на k-кортежи регулярно (строго транзитивно), а не просто транзитивно).

Группа M₂₄ 5-транзитивна, а группа M₁₂ — остро 5-транзитивна. Другие группы Матьё (простые и не простые), будучи подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, имеют более низкую транзитивность (M₂₃ 4-транзитивна, и т. д.).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы S_k для k не меньшего 4, знакопеременные группы A_k для k, равного 6 и выше, и группы Матьё M₂₄^[англ.], M₂₃^[англ.], M₁₂^[англ.] и M₁₁^[англ.][8].

Классическим результатом является результат Жордана, что только симметрическая и знакопеременные группы (степеней k и k + 2 соответственно), а также M₁₂ и M₁₁ являются остро k-транзитивными группами перестановок для k не меньшего 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы^[англ.] и группы Цассенхауса^[англ.]. Группы Цассенхауса, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем, PGL(2,F_q), которая является остро 3-транзитивной (см. Двойное отношение) на ${\displaystyle q+1}$ элементах.

Таблица порядков и транзитивности

Группа	Порядок	Порядок (произведение)	Разложение порядка	Транзитивность	Простая	Спорадическая
M24	244823040	3•16•20•21•22•23•24	2^10•3^3•5•7•11•23	5-транзитивная	да	спорадическая
M23	10200960	3•16•20•21•22•23	2^7•3^2•5•7•11•23	4-транзитивная	да	спорадическая
M22	443520	3•16•20•21•22	2^7•3^2•5•7•11	3-транзитивная	да	спорадическая
M21	20160	3•16•20•21	2^6•3^2•5•7	2-транзитивная	да	≈ PSL3(4)
M20	960	3•16•20	2^6•3•5	1-транзитивная	нет
M12	95040	8•9•10•11•12	2^6•3^3•5•11	остро 5-транзитивная	да	спорадическая
M11	7920	8•9•10•11	2^4•3^2•5•11	остро 4-транзитивная	да	спорадическая
M10	720	8•9•10	2^4•3^2•5	sостро 3-транзитивная	почти	M10' ≈ Alt6
M9	72	8•9	2^3•3^2	остро 2-транзитивная	нет	≈ PSU3(2)^[англ.]
M8	8	8	2^3	остро 1-транзитивная (регулярна)	нет	≈ Q

Построение групп Матьё

Группы Матьё можно построить разными способами.

Группы перестановок

M₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL₂(F₁₁) над полем из 11 элементов. Если −1 обозначить как a, а бесконечность как b, двумя стандартными генераторами являются перестановки (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, дающий M₁₂, переводит элемент x группы F₁₁ в ${\displaystyle 4x^{2}-3x^{7}}$, как при перестановке (26a7)(3945).

Эта группа оказывается не изоморфной ни одному из членов бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M₁₁ является стабилизатором точки в M₁₂ и тоже оказывается спорадической простой группой. M₁₀, стабилизатор двух точек, не является спорадическим, но является почти простой группой, коммутант которой является знакопеременной группой A₆. Он связан с исключительным внешним автоморфизмом^[англ.] группы A₆. Стабилизатор 3 точек является проективной специальной унитарной группой^[англ.] PSU(3,2^2), которая является разрешимой. Стабилизатор 4 точек является группой кватернионов.

Подобным же образом, M₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL₂(F₂₃). Один генератор добавляет 1 каждому элементы поля (оставляя точку N на бесконечности неподвижной), то есть перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а другой является обращающей порядок перестановкой, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, дающий M₂₄, переводит элемент x группы F₂₃ в ${\displaystyle 4x^{4}-3x^{15}}$. Вычисления показывают, что это перестановка (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 точек, M₂₃ и M₂₂ также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор 3 точек является простой группой и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL₃(4).

Эти построения были процитированы Кармайклом[9]. Диксон и Мортимер[10] приписывают перестановки Эмилю Матьё.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

Существует с точностью до^[англ.] эквивалентности единственная S(5,8,24) система Штейнера W₂₄ (схема Витта). Группа M₂₄ является группой автоморфизмов этой системы Штейнера, то есть множество перестановок, которые отображают каждый блок в некоторый другой блок. Подгруппы M₂₃ и M₂₂ определяются как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Подобным образом, существует с точностью до эквивалентности единственная S(5,6,12) система Штейнера W₁₂, а группа M₁₂ является её группой автоморфизмов. Подгруппа M₁₁ является стабилизатором точки.

W₁₂ можно построить из аффинной геометрии на векторном пространстве F₃×F₃, системы S(2,3,9).

Альтернативное построение W₁₂ — «котёнок» Кёртиса[11].

Введение в построение W₂₄ с помощью чудесного генератора октад^[англ.] Р. Т. Кёртиса и аналога для W₁₂ (miniMOG) Конвея можно найти в книге Конвея и Слоуна.

Группы автоморфизмов кодов Голея

Группа M₂₄ является группой автоморфизмов перестановок^[англ.] расширенного двоичного кода Голея W, то есть группы перестановок 24 координат, отображающих W в себя. Все группы Матьё можно построить как группы перестановок бинарных кодов Голея.

M₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M₁₂:2 оказывается изоморфной подгруппе группы M₂₄. M₁₂ является стабилизатором кода из 12 единиц. M₁₂:2 стабилизирует раздел в двух комплементарных кодах из 12 бит.

Существует естественная связь между группами Матьё и бо́льшими группами Конвея, поскольку решётка Лича была построена на бинарном коде Голея и обе группы, фактически, лежат в пространстве размерности 24. Группы Конвея обнаруживаются в Монстре. Роберт Грис^[англ.] ссылается на 20 спорадических групп, найденных в Монстре, как Счастливое семейство, а на группы Матьё как первое поколение.

Dessins d’enfants

Группы Матьё можно построить с помощью dessins d'enfants^[англ.] (фр: детский рисунок)[12], а рисунок, ассоциированный с M₁₂, ле Брюн назвал «Monsieur Mathieu» (Месье Матьё)[13].

Примечания

1. Mathieu, 1861.
2. Mathieu, 1873.
3. Mathieu, 1861, с. 271.
4. Miller, 1898.
5. Miller, 1900.
6. Witt, 1938a.
7. Witt, 1938b.
8. Cameron, 1999, с. 110.
9. Carmichael, 1956, с. 151, 164, 263.
10. Dixon, Mortimer, 1996, с. 209.
11. Curtis, 1984.
12. Буквально — детский рисунок (фр.). Термин предложил Гротендик для одного из видов вложения графов.
13. le Bruyn, 2007.

Литература

• Горенстейн Д. Конечные простые группы. — 1985.
• Peter J. Cameron. Permutation Groups. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 45. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-65378-7.
• Robert D. Carmichael. Introduction to the theory of groups of finite order. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN 978-0-486-60300-1. Оригинальный год издания: 1937
• C. Choi. On Subgroups of M₂₄. I: Stabilizers of Subsets // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972a. — Май (т. 167). — С. 1–27. — doi:10.2307/1996123. — JSTOR 1996123.
• C. Choi. On Subgroups of M₂₄. II: the Maximal Subgroups of M₂₄ // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972b. — Май (т. 167). — С. 29–47. — doi:10.2307/1996124. — JSTOR 1996124.
• John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / M. B. Powell, Graham Higman. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999, pp. 267–298
• John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, R. T. Curtis, Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
• John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
• Curtis R. T. A new combinatorial approach to M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вып. 1. — С. 25–42. — ISSN 0305-0041. — doi:10.1017/S0305004100052075.
• Curtis R. T. (1977), "The maximal subgroups of M₂₄", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 81, pp. 185—192, doi:10.1017/S0305004100053251, ISSN 0305-0041, MR 0439926 {{citation}}: Неизвестный параметр |выпуск= игнорируется (справка)
• Curtis R. T. The Steiner system S(5, 6, 12), the Mathieu group M₁₂ and the "kitten" // Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society symposium held in Durham, July 30–August 9, 1982. / Michael D. Atkinson. — Boston, MA: Academic Press, 1984. — С. 353–358. — ISBN 978-0-12-066270-8.
• Hans Cuypers. The Mathieu groups and their geometries. — 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutation groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996. — Т. 163. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94599-6. — doi:10.1007/978-1-4612-0731-3.
• Ferdinand Georg Frobenius. Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen. — Mouton De Gruyter, 1904. — С. 558–571. — (Berline Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9.
• Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
• Émile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1861. — Т. 6. — С. 241–323.
• Émile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1873. — Т. 18. — С. 25–46. (недоступная ссылка) Язык: Французский
• Miller G. A. On the supposed five-fold transitive function of 24 elements and 19!/48 values. // Messenger of Mathematics. — 1898. — Т. 27. — С. 187–190.
• Miller G. A. Sur plusieurs groupes simples // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1900. — Т. 28. — С. 266–267.
• Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9. (an introduction for the lay reader, describing the Mathieu groups in a historical context)
• Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. — Т. 12. — С. 265–275. — ISSN 0025-5858. — doi:10.1007/BF02948948.
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. — Т. 12. — С. 256–264. — doi:10.1007/BF02948947.
• Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu. — 2007. Архивировано 1 мая 2010 года.

Ссылки

• ATLAS: Mathieu group M₁₀ Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₁₁ Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₁₂ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₀ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₁ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₂ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₃ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₄ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• How to Make the Mathieu Group M₂₄.
• Mathieu group M₉ on GroupNames

• Scientific American Архивная копия от 8 сентября 2008 на Wayback Machine A set of puzzles based on the mathematics of the Mathieu groups
• Sporadic M12 Архивная копия от 2 декабря 2017 на Wayback Machine An iPhone app that implements puzzles based on M₁₂, presented as one «spin» permutation and a selectable «swap» permutation