Почти простая группа

Говорят, что группа почти проста, если она содержит неабелеву простую группу и содержится в группе автоморфизмов этой простой группы. В символьной записи группа A почти проста, если существует простая группа S, такая, что ${\displaystyle S\leq A\leq \operatorname {Aut} (S)}$[1].

Примеры

• Тривиально, неабелевы простые группы и полные группы автоморфизмов почти просты, но существуют примеры почти простых групп, не являющихся ни простыми, ни полными группами автоморфизмов.
• Для ${\displaystyle n=5}$ или ${\displaystyle n\geqslant 7}$ симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ является группой автоморфизмов простой знакопеременной группы ${\displaystyle A_{n},}$ так что ${\displaystyle S_{n}}$ является почти простой в этом тривиальном смысле.
• Для ${\displaystyle n=6}$ существует чистый пример, так как ${\displaystyle S_{6}}$ находится чисто между простой группой ${\displaystyle A_{6}}$ и ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{6}),}$ вследствие исключительных внешних автоморфизмов^[англ.] группы ${\displaystyle A_{6}}$. Две другие группы, группа Матьё ${\displaystyle M_{10}}$ и проективная полная линейная группа ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(9)}$, также находятся чисто между ${\displaystyle A_{6}}$ и ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{6}).}$

Свойства

Группа автоморфизмов неабелевой простой группы является полной группой (отображение смежных классов является изоморфизмом в группу автоморфизмов), но собственная подгруппа полной группы автоморфизмов не обязательно полна.

Структура

Согласно гипотезе Шрайера^[англ.], ныне повсеместно принятой как следствие классификации простых конечных групп, группа внешних автоморфизмов^[англ.] конечной простой группы является разрешимой группой[2]. Таким образом, конечная простая группа является расширяемой разрешимой группы по простой группе.

См. также

• Квазипростая группа^[англ.]
• Полупростая группа

Примечания

1. Вдовин, 2007, с. 159.
2. Вдовин, Ревин, 2011, с. 11.

Литература

• Вдовин Е. П. Картеровы подгруппы в конечных почти простых группах // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, вып. 2. — С. 157–216.
• Вдовин Е. П., Ревин Д. О. Теоремы силовского типа // УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК. — 2011. — Т. 66, вып. 5(401). — С. 3–46.

Ссылки

• Almost simple group Архивная копия от 30 августа 2009 на Wayback Machine at the Group Properties wiki