Упорядоченная группа

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Теория упорядоченных групп объединяет методы теории групп и теории порядка, является разделом абстрактной алгебры и проникает в теорию одномерных динамических систем.

Коммутативная упорядоченная группа

Далее в этом разделе группа считается аддитивной, то есть групповая операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом ${\displaystyle 0}$.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — коммутативная группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$.
2. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$.
3. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$, то ${\displaystyle x=y}$.
4. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых ${\displaystyle x,y}$ либо ${\displaystyle x\leqslant y}$, либо ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

5. Если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для любого z справедливы соотношения:

${\displaystyle x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.}$

Если все пять аксиом выполнены, то группа ${\displaystyle G}$ называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа[1].

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Отношение больше: ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x\geqslant y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$.

Отношение меньше: ${\displaystyle x<y}$ означает, что ${\displaystyle y>x}$.

Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.

Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.

Подгруппа ${\displaystyle H}$ упорядоченной группы ${\displaystyle G}$ называется выпуклой, если все элементы ${\displaystyle g\in G}$, находящиеся между элементами ${\displaystyle H,}$ принадлежат ${\displaystyle H.}$ Формальная запись: если ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ и ${\displaystyle h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},}$ то ${\displaystyle g\in H.}$ Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

Свойства

Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать[2], например:

Если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d}$

Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена[3]. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

Архимедовость

Порядок в группе называется архимедовым, если для любых ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b>0}$ найдётся такое натуральное ${\displaystyle n,}$ что:

${\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b}$

Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна[4].

Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент[4].

Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел[4].

Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп[1].

Положительные и отрицательные элементы

Элементы, бо́льшие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если ${\displaystyle x\geqslant 0,}$ то, прибавив ${\displaystyle -x,}$ получим, что ${\displaystyle -x\leqslant 0.}$ Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.

Обозначим ${\displaystyle P}$ множество неотрицательных элементов. Тогда ${\displaystyle -P,}$ то есть множество элементов, противоположных элементам ${\displaystyle P,}$ содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств[5][1].

(P1) ${\displaystyle P}$ замкнуто относительно сложения.

(P2) ${\displaystyle -P}$ имеет с ${\displaystyle P}$ ровно один общий элемент — ноль группы: ${\displaystyle P\cap (-P)=\{0\}.}$

(P3) ${\displaystyle (-g)+P+g\subset P}$ для любого ${\displaystyle g\in G.}$

(P4) ${\displaystyle P\cup (-P)=G.}$

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в произвольной группе ${\displaystyle G}$ линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

Пусть такое ${\displaystyle P}$ выделено. Определим линейный порядок в ${\displaystyle G}$ следующим образом[5]:

${\displaystyle x\leqslant y}$, если ${\displaystyle y-x\in P}$ (отметим, что из свойства (P3) следует, что если ${\displaystyle y-x\in P,}$ то и ${\displaystyle -x+y\in P,}$ даже если группа не коммутативна).

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры[5].

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элементов группы: ${\displaystyle |x|=max(x,-x).}$ Здесь функция ${\displaystyle max}$ осуществляет выбор наибольшего значения.

Свойства абсолютной величины[6]:

• ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0.}$
• Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0.}$
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|-x|.}$
• Неравенство треугольника: ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|.}$
• ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y.}$

Примеры

• Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
• Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
• Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.}$ Определим в ней множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу[7].
• Определим в аддитивной группе ${\displaystyle G}$ всех комплексных чисел множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов следующим образом: ${\displaystyle a+bi\in P,}$ если либо ${\displaystyle a>0,}$ либо ${\displaystyle a=0;b\geqslant 0.}$ Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает ${\displaystyle G}$ в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком[8]. В ней, например, ${\displaystyle 0<i<1,}$ причём сумма любого количества ${\displaystyle i}$ всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на ${\displaystyle i}$ неравенство ${\displaystyle i>0,}$ мы получим ошибочное неравенство ${\displaystyle -1>0}$. Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

Некоммутативная группа

Для некоммутативной группы определение порядка следующее.

Частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ на группе ${\displaystyle (G,\ast )}$ называется

• правоинвариантным, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in G}$ из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle x\ast z\leqslant y\ast z}$,
• левоинвариантным, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in G}$ из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle z\ast x\leqslant z\ast y}$,
• двусторонне инвариантным, если он является и правоинвариантным, и левоинвариантным.

Группа называется правоупорядочиваемой или левоупорядочиваемой, если на ней можно ввести, соответственно, правоинвариантный или левоинвариантный линейный порядок. А если на группе можно ввести двусторонне инвариантный линейный порядок, то её называют двусторонне упорядочиваемой, линейно упорядочиваемой или просто упорядочиваемой[9]. В случае абелевых групп данные понятия совпадают.

Группа правоупорядочиваема тогда и только тогда, когда она левоупорядочиваема. А именно, порядок ${\displaystyle \leqslant }$ является правоинвариантным тогда и только тогда, когда порядок ${\displaystyle \leqslant ^{\prime }}$, заданный по правилу ${\displaystyle x\leqslant ^{\prime }y\Longleftrightarrow y^{-1}\leqslant x^{-1}}$, является левоинвариантным. Таким образом, для установления общих свойств упорядоченных групп достаточно рассматривать только правоинвариантные порядки. При этом существуют группы, являющиеся правоупорядочиваемыми, но не двусторонне упорядочиваемыми. Например, группы кос.

Также в литературе рассматривают различные ослабления вышеуказанных свойств. Например, ослабление требования линейности порядка приводит к понятию частично упорядоченной группы.

Примечания

1. Математическая энциклопедия, 1982.
2. Нечаев, 1975, с. 85, теорема 5.2.1.
3. Нечаев, 1975, с. 87, теорема 5.2.6.
4. Кокорин, Копытов, 1972, с. 27—28.
5. Фукс, 1965, с. 25—26.
6. Бурбаки, 1965, с. 253—255.
7. Кокорин, Копытов, 1972, с. 13.
8. Фукс, 1965, с. 29.
9. Копытов и Медведев, 1996.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..
• Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972. — 343 с.
• Копытов В. М., Медведев Н. Я.. Правоупорядоченные группы (рус.). — Новосибирск: Научная книга, 1996. — 256 с. — ISBN 588119005X.
• Линейно упорядоченная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 322.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 343 с.