Группа Фишера

Группы Фишера — это три спорадические группы Fi22[англ.], Fi23[англ.] и Fi24[англ.], введённые немецким математиком Берндом Фишером[англ.][1][2].

Группа 3-перестановок

Основная статья: Группа 3-перестановок

Группы Фишера названы именем Бернда Фишера[англ.], открывшего группы, когда он исследовал группы 3-перестановок. Это группы G со следующими свойствами:

Типичным примером группы 3-перестановки служит симметрическая группа. Симметрическая группа Sn может быть сгенерирована n − 1 перестановкой — (12), (23), ..., (n − 1, n).

Фишер смог классифицировать группы 3-перестановок, удовлетворяющих определённым дополнительным условиям. Группы, которые он обнаружил, распадаются большей частью на некоторые бесконечные классы (кроме симметрических групп, сюда входят некоторые классы симплектических групп, унитарная и ортогональная группы), а также нашёл 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно обозначаются как Fi22, Fi23 и Fi24. Первые две из них являются простыми группами, а третья содержит простую группу Fi24′ с индексом 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU6(2), которую можно рассматривать как группу Fi21 в серии групп Фишера. Эта группа имеет порядок 9.196.830.720 = 215⋅36⋅5⋅7⋅11. Фактически, двойное покрытие 2.PSU6(2) становится подгруппой новой группы. Она является стабилизатором одной вершины в графе с 3510 (= 2⋅33⋅5⋅13) вершинами. Эти вершины определяются как сопряжённые 3-перестановки в группе симметрии Fi22 графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большими группами Матьё. В Fi22 максимальное множество 3-перестановок, коммутирующих друг с другом, имеет размер 22 и называется базисным множеством. Существует 1024 3-перестановки, называемых анабазисом, которые не коммутируют с любой перестановкой в выбранном базисном множестве. Любая перестановка из оставшихся 2364 перестановок, называемых шестивалентными, коммутирует с 6 базисными перестановками. Наборы из 6 перестановок образуют систему Штейнера S(3,6,22), группа симметрии которой — M22. Базовое множество генерирует абелеву группу порядка 210, которая расширяется в Fi22 в подгруппу 210:M22.

Следующая группа Фишера получается из 2.Fi22 как одноточечного стабилизатора графа с 31671 (= 34⋅17⋅23) вершинами при интерпретации вершин как 3-перестановок в группе Fi23. 3-перестановки имеют базовые множества размером 23, при этом 7 перестановок коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой.

Следующая группа берёт Fi23 как одноточечный стабилизатор графа с 306936 (= 23⋅33⋅72⋅29) вершинами, чтобы образовать Fi24. 3-Перестановки имеют базовые множества размером 24, при этом 8 перестановок среди 24 коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой. Группа Fi24 не является простой, но её дочерняя подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

Обозначение

Нет единого обозначения этих групп. Некоторые авторы используют F вместо Fi (F22, например). Фишер использовал обозначения M(22), M(23) и M(24)′, чем подчёркивал их тесную связь с тремя наибольшими группами Матьё M22, M23 и M24.

Один из источников путаницы — Fi24. Это обозначение иногда используется для обозначения простой группы Fi24′, а иногда — для полной группы 3-перестановок (вдвое большей).

Обобщённый Чудовищный вздор

Конвей и Нортон предложили в 1979 статью, в которой утверждается, что гипотеза чудовищного вздора[3] не ограничивается группой «Монстр» и что похожие явления найдены для других групп. Ларисса Квин и другие обнаружили, что можно построить расширение многих Hauptmoduln (главных модулей)[4] из простых комбинаций размерностей спорадических групп.

Примечания

  1. ↑ Fischer, 1971.
  2. ↑ Fischer, 1976.
  3. ↑ Гипотеза чудовищного вздора исследует неожиданные связи между группой «Монстр» и модулярными функциями.
  4. ↑ Вообще говоря, Hauptmoduln является термином, пришедшим из немецкого языка. Буквально — главный модуль. В английском языке употребляется для обозначения глобальных униформирующих параметров некоторых расширенных модулярных групп в теории «Чудовищного вздора».

Литература

  • Michael Aschbacher. 3-transposition groups. — Cambridge University Press, 1997. — Т. 124. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-0-521-57196-8. — doi:10.1017/CBO9780511759413. Содержит полное доказательство теоремы Фишера.
  • Bernd Fischer. Finite groups generated by 3-transpositions. I // Inventiones Mathematicae. — 1971. — Т. 13, вып. 3. — С. 232–246. — ISSN 0020-9910. — doi:10.1007/BF01404633. Первая часть препринта Фишера с построением его групп. Остальная часть статьи осталась неопубликованной (на 2010).
  • Bernd Fischer. Finite Groups Generated by 3-transpositions. — Mathematics Institute, University of Warwick, 1976. — (Preprint).
  • Robert A. Wilson. The finite simple groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2009. — Т. 251. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
  • Wilson R. A. ATLAS of Finite Group Representation. Архивировано 4 декабря 2017 года.