Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Термин был предложен Артином в 1927 г.
Определение
Пусть — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами:
- Рефлексивность: .
- Транзитивность: если и , то .
- Антисимметричность: если и , то .
- Линейность: все элементы сравнимы между собой, то есть либо , либо .
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:
- Если , то для любого z: .
- Если и , то .
Если все 6 аксиом выполнены, то поле называется упорядоченным.
Связанные определения
- Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
- Отношение больше или равно: означает, что .
- Отношение больше: означает, что и .
- Отношение меньше: означает, что .
- Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
- Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину элемента как .
Конструктивное построение порядка
Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества , ноль и не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.
Пусть такое P выделено. Обозначим (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:
- , если
Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.
Свойства
- Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если положителен, то отрицателен, и наоборот.
- В любом упорядоченном поле и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
- Однотипные неравенства можно складывать:
- Если и , то .
- Неравенства можно умножать на положительные элементы:
- Если и , то .
Неединственность порядка
Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида , где — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» те числа , для которых . Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены[1].
Место в иерархии алгебраических структур
- Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
- Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
- Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда оно вещественно, то есть не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
- Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
- Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел ; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей .
- Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.
Примеры
- Рациональные числа
- Вещественные числа
- Вещественные алгебраические числа
- Любое вещественно замкнутое поле
- Поле вещественных рациональных функций: , где — многочлены, . Упорядочим его следующим образом.
- Пусть Будем считать, что функция , если . Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
- Из определения вытекает, что многочлен больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) , для которых[3] .
- Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
- Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле , порождённое добавлением к полю рациональных чисел числа — одного из комплексных корней многочлена . Данное поле изоморфно вещественному полю , поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]
Примеры неупорядочиваемых полей
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
- Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
- Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..
Примечания