Рациональная функция

Пример рациональной функции от одной переменной:
Пример рациональной функции от двух переменных

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Формальное определение

Рациональная функция[1][2][3], или дробно-рациональная функция[1][4], или рациональная дробь[4] — это числовая функция вида

где комплексные () или вещественные () числа, — рациональное выражение от . Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)[5].

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов и :

где Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов и :

и [5][3].

Частные случаи

где переменная действительна.
  • Преобразование Кэли
имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским[6].

Обобщения

  • Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)
где [5].
  • Абстрактные рациональные функции
где линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, и — числовые коэффициенты[5].

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем[4].

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике[4].

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби[4].

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь простейшая, если её знаменатель представляет собой степень неприводимого многочлена :

а степень числителя меньше степени . Существуют две теоремы[4].

  • Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
  • Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

Свойства

  • Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
  • Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[12].

См. также

Примечания

  1. 1 2 Дробно-рациональная функция, 1979.
  2. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 226.
  3. 1 2 Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 121.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 161—165.
  5. 1 2 3 4 Долженко Е. П. Рациональная функция, 1984.
  6. Соломенцев Е. Д. Жуковского функция, 1979.
  7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 141—142.
  8. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I, 2019, с. 292—295.
  9. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 50—51.
  10. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 62—63.
  11. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 125.
  12. M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles : [арх. 18 февраля 2017]. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.

Источники

  • Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
  • Дробно-рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 387.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).
  • Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
  • Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
  • Соломенцев Е. Д. Жуковского функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 426.