Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем[4].
Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя.Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике[4].
Доказательство
Сначала докажем, что если произведение многочленов и делится на , причём и взаимно просты, то делится на [7].
1. Известно, что многочлены и взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены и , что
2. Умножим это равенство на :
3. Оба слагаемых этого равенства делятся на , следовательно, также делится на .
Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя[4].
1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.
2. Далее, если две несократимые дроби равны:
то есть
то:
из взаимной простоты и следует, что делится на ;
из взаимной простоты и следует, что делится на .
В итоге получаем, что
3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:
или
Итак, получили, что
Правильная рациональная дробь
Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби[4].
1. Для любой рациональной дроби , поделив числитель на знаменатель, получим:
причём степень меньше степени Поделим обе части равенства на , получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:
2. Докажем единственность этого представления. Если имеет место также следующее равенство:
где также степень меньше степени , то произведём вычитание:
3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень меньше степени , а степень меньше степени , то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда и
Простейшая рациональная дробь
Правильная рациональная дробь простейшая, если её знаменатель представляет собой степень неприводимого многочлена:
а степень числителя меньше степени . Существуют две теоремы[4].
Основная теорема.Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
Теорема единственности.Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.
Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей
3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:
Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными , и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.
4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве получаем откуда Полагая получаем то есть Полагая независимо и получаем систему
Отсюда Положим получаем Возникает система
откуда Таким образом,
Свойства
Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.
Правильные дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
↑M. Ostrogradsky.De l'intégration des fractions rationnelles : [арх. 18 февраля 2017]. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.
Источники
Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).
Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.