Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Пусть ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке ${\displaystyle x_{0}\in D}$.

• Определение через предел: функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, предельной для множества ${\displaystyle D}$, если ${\displaystyle f}$ имеет предел в точке ${\displaystyle x_{0}}$, и этот предел совпадает со значением функции ${\displaystyle f(x_{0})}$:

  ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$

• Определение, использующее ε-δ-формализм: функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}\in D}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для любого ${\displaystyle x\in D}$,

  ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента ${\displaystyle x}$ удовлетворять условию ${\displaystyle 0<\left\vert x-a\right\vert }$, то есть быть отличными от а.

• Определение, использующее o-символику: функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если

  ${\displaystyle f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)}$, при ${\displaystyle \delta \to 0}$.

• Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на множестве ${\displaystyle E}$, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция ${\displaystyle f}$ класса ${\displaystyle C^{0}}$ и пишут: ${\displaystyle f\in C^{0}(E)}$ или, подробнее, ${\displaystyle f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )}$.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если ${\displaystyle A}$ — значение функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с ${\displaystyle A}$. На языке окрестностей условие разрывности функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$ получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки ${\displaystyle A}$ области значений функции ${\displaystyle f}$, что как бы мы близко не подходили к точке ${\displaystyle a}$ области определения функции ${\displaystyle f}$, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки ${\displaystyle A}$.

Классификация разрывов функций ${\displaystyle f:X\to Y}$ зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$. Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

• 
  Устранимый разрыв
• 
  Разрыв типа «скачок»
• 
  Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».
• 
  Точка существенного разрыва

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)}$,

то точка ${\displaystyle a}$ называется точкой устранимого разрыва функции ${\displaystyle f}$ (при отсутствии ${\displaystyle f(a)}$ — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию ${\displaystyle f}$ в точке устранимого разрыва и положить ${\displaystyle f(a):=\lim \limits _{x\to a}f(x)}$, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Разрыв «скачок» (особая точка «скачок») возникает, если

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)}$, и пределы конечны.

Разрыв «полюс» (особая точка «полюс») возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty }$ или ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty }$.^{[источник не указан 3203 дня]}

В точке существенного разрыва (существенной особой точке) хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Для функций ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

• Если ${\displaystyle \exists \lim \limits _{x\to a}f(x)}$, то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty }$. В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что ${\displaystyle f(x)\to \infty }$, каким путём бы он ни рос.^{[источник не указан 3203 дня]}
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

• Функция, непрерывная в точке ${\displaystyle a}$, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle f(a)>0}$ (или ${\displaystyle f(a)<0}$), то ${\displaystyle f(x)>0}$ (или ${\displaystyle f(x)<0}$) для всех ${\displaystyle x}$, достаточно близких к ${\displaystyle a}$.
• Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ непрерывны в точке ${\displaystyle a}$, то функции ${\displaystyle f+g}$ и ${\displaystyle f\cdot g}$ тоже непрерывны в точке ${\displaystyle a}$.
• Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ непрерывны в точке ${\displaystyle a}$ и при этом ${\displaystyle g(a)\neq 0}$, то функция ${\displaystyle f/g}$ тоже непрерывна в точке ${\displaystyle a}$.
• Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ и функция ${\displaystyle g}$ непрерывна в точке ${\displaystyle b=f(a)}$, то их композиция ${\displaystyle h=g\circ f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$.

• Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции ${\displaystyle f}$, непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, является отрезок ${\displaystyle [\min f,\ \max f],}$ где минимум и максимум берутся по отрезку ${\displaystyle [a,b]}$.
• Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,}$ то существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в которой ${\displaystyle f(\xi )=0}$.
• Теорема о промежуточном значении: если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и число ${\displaystyle \varphi }$ удовлетворяет неравенству ${\displaystyle f(a)<\varphi <f(b)}$ или неравенству ${\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),}$ то существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в которой ${\displaystyle f(\xi )=\varphi }$.
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами ${\displaystyle f(a)}$ и ${\displaystyle f(b)}$.
• Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ непрерывны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, причем ${\displaystyle f(a)<g(a)}$ и ${\displaystyle f(b)>g(b),}$ то существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в которой ${\displaystyle f(\xi )=g(\xi ).}$ Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
• График непрерывной на отрезке функции является кривой.

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ задаваемая формулой

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}$

непрерывна в любой точке ${\displaystyle x\neq 0.}$ Точка ${\displaystyle x=0}$ является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).}$

Функция

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке ${\displaystyle x\neq 0}$.

Точка ${\displaystyle x=0}$ является точкой разрыва первого рода, причём

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)}$,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда, определяемая как

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

является всюду непрерывной, кроме точки ${\displaystyle x=0}$, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке ${\displaystyle x=0}$ существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ {\text{НОД}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел (${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность ${\displaystyle x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q} }$, то с необходимостью ${\displaystyle n_{k}\to \infty }$). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Функция ${\displaystyle f}$ называется равномерно непрерывной на ${\displaystyle E}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, выполняется ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$.

Каждая равномерно непрерывная на множестве ${\displaystyle E}$ функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция ${\displaystyle f}$ называется полунепрерывной снизу в точке ${\displaystyle a}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U_{E}(a)}$, что ${\displaystyle f(x)>f(a)-\varepsilon }$ для всякого ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$;
• функция ${\displaystyle f}$ называется полунепрерывной сверху в точке ${\displaystyle a}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U_{E}(a)}$, что ${\displaystyle f(x)<f(a)+\varepsilon }$ для всякого ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$.

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию ${\displaystyle f}$, непрерывную в точке ${\displaystyle a}$, и уменьшить значение ${\displaystyle f(a)}$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке ${\displaystyle a}$;
• если взять функцию ${\displaystyle f}$, непрерывную в точке ${\displaystyle a}$, и увеличить значение ${\displaystyle f(a)}$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке ${\displaystyle a}$.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если ${\displaystyle f(a)=-\infty }$, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке ${\displaystyle a}$;
• если ${\displaystyle f(a)=+\infty }$, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке ${\displaystyle a}$.

Функция ${\displaystyle f}$ называется непрерывной слева (справа) в точке ${\displaystyle x_{0}}$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: ${\displaystyle f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)}$ ${\displaystyle (f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).}$

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция ${\displaystyle f}$ такова, что она непрерывна всюду на ${\displaystyle E}$, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.