Ряд Лорана

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Определение

Ряд Лорана в конечной точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ — функциональный ряд по целым степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ над полем комплексных чисел:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad }$ где переменная ${\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\}}$, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ — часть по неотрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$,
2. ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ — часть по отрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$.

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если ${\displaystyle A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})}$ — область сходимости ряда Лорана такая, что ${\displaystyle z_{0}\in \partial {A_{z_{0}}}}$, то для ${\displaystyle A_{z_{0}}}$

ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ называется правильной частью,

ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке ${\displaystyle z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}}$ — функциональный ряд по целым степеням ${\displaystyle z}$ над полем комплексных чисел:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad }$ где переменная ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

По внешнему виду ряд для ${\displaystyle z_{0}=\infty }$ совпадает с рядом для ${\displaystyle z_{0}=0}$, однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены ${\displaystyle z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}}$ для ${\displaystyle \zeta _{0}=0}$.

Если ${\displaystyle A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})}$ — область сходимости ряда Лорана такая, что ${\displaystyle \infty \in \partial {A_{\infty }}}$, то для ${\displaystyle A_{\infty }}$

ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}}$ называется правильной частью,

ряд ${\displaystyle \sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}}$ называется главной частью.

Свойства

• Часть по положительным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ сходится во внутренности ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}}$ круга радиуса ${\displaystyle R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\infty ]}$,

часть по отрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ сходится во внешности ${\displaystyle \Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z-z_{0}|>r\}}$ круга ${\displaystyle D_{r}}$ радиуса ${\displaystyle r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]}$.

Поэтому, если ${\displaystyle r<R\,}$, то внутренность ${\displaystyle A}$ области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{R}}$.

• Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\}}$ зависит только от ${\displaystyle \sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ для произвольного ${\displaystyle n_{s}\in \mathbb {N} }$,

а в точках граничной окружности ${\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\}}$ — только от ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ для произвольного ${\displaystyle n_{s}\in \mathbb {N} }$.

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца ${\displaystyle A}$ может быть разнообразным.

• Во всех точках кольца ${\displaystyle A}$ ряд Лорана сходится абсолютно.
• На любом компактном подмножестве ${\displaystyle K\subset A}$ ряд сходится равномерно.
• Для каждой точки ${\displaystyle \zeta _{0}\in A}$ существует такое значение ${\displaystyle \rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist}}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0}$, что ${\displaystyle D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\}\subset A}$, и ряд Лорана ${\displaystyle f(z)}$ может быть записан в виде сходящегося в ${\displaystyle D_{\rho }(\zeta _{0})}$ ряда по степеням ${\displaystyle (z-\zeta _{0})}$:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad }$ где ${\displaystyle z\in D_{\rho }(\zeta _{0})}$, а ${\displaystyle t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!}}}$ для ${\displaystyle k\in \{0\}\cup \mathbb {N} }$,

т.е. ${\displaystyle \zeta _{0}}$ является для ${\displaystyle f(z)}$ правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в ${\displaystyle A}$ есть аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$.

• Для ${\displaystyle 0<r<R<+\infty }$ на граничных окружностях кольца сходимости ${\displaystyle A}$ существуют непустые множества ${\displaystyle I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})}$, ${\displaystyle I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})}$ точек, не являющихся для ${\displaystyle f(z)}$ правильными.
• Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном ${\displaystyle K\subset A}$ почленно.
• Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в ${\displaystyle A}$ функцию только при ${\displaystyle c_{-1}=0}$, поскольку для любого ${\displaystyle \rho >0}$ значение ${\displaystyle \int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{\begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\right.}$

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,}$, представляющий в двусвязной области ${\displaystyle A}$ функцию ${\displaystyle f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,}$, для любого компактного ${\displaystyle K\subset A}$ и любой спрямляемой ориентированной кривой ${\displaystyle \gamma \subset K}$ можно интегрировать по ${\displaystyle \gamma }$ почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек ${\displaystyle \gamma }$ и не зависит от формы кривой ${\displaystyle \gamma }$.

• Коэффициенты ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ряда Лорана ${\displaystyle f(z)}$ удовлетворяют соотношениям

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном ${\displaystyle K\subset A}$ и один раз обходящая против часовой стрелки точку ${\displaystyle z_{0}}$. В частности, в качестве ${\displaystyle \gamma }$ можно взять любую окружность ${\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\}}$ радиуса ${\displaystyle \rho \in (r;R)}$ с центром в ${\displaystyle z_{0}}$, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр ${\displaystyle t}$ должен возрастать).

• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$, сходящихся в ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности ${\displaystyle C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})}$ или на гомотопной ей по ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ спрямляемой кривой ${\displaystyle \gamma \sim C_{\rho }}$, то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция ${\displaystyle f(z)}$, являющаяся однозначной и аналитической в кольце ${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}}$, представима в ${\displaystyle A}$ сходящимся рядом Лорана по степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$.

Представление однозначной аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности ${\displaystyle A_{z_{0}}}$ изолированной особой точки:

1) если точка ${\displaystyle z_{0}\neq \infty }$, то существует радиус ${\displaystyle R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]}$ такой, что в проколотой окрестности

${\displaystyle A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad }$

функция ${\displaystyle f(z)}$ представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка ${\displaystyle z_{0}=\infty }$, то существует радиус ${\displaystyle r_{\infty }\in [0;+\infty )}$ такой, что в проколотой окрестности

${\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \}}$

функция ${\displaystyle f(z)}$ представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки ${\displaystyle z_{0}}$ определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности ${\displaystyle A_{z_{0}}}$:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 1: Начала теории. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — 486 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е. — М.: Наука, 1984. — 432 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.