Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.
Функциональный ряд — ряд , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число , а функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
.
Функциональная последовательность
Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве
E
{\displaystyle \ E}
, включённом в d-мерное евклидово пространство
R
d
{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{d}}
.
u
k
(
x
)
:
E
↦ ↦ -->
C
,
E
⊆ ⊆ -->
R
d
,
k
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle \ {u_{k}}(x):E\mapsto \mathbb {C} ,~~E\subseteq \mathbb {R} ^{d},~~k\in \mathbb {N} }
Функциональная последовательность
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
сходится поточечно к функции
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u}(x)}
, если
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
E
∃ ∃ -->
lim
k
→ → -->
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
=
u
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)}
.
Существует функция
u
(
x
)
:
E
↦ ↦ -->
C
{\displaystyle \ u(x):E\mapsto \mathbb {C} }
такая, что:
sup
∣ ∣ -->
u
k
(
x
)
− − -->
u
(
x
)
∣ ∣ -->
⟶ ⟶ -->
k
→ → -->
∞ ∞ -->
0
,
x
∈ ∈ -->
E
{\displaystyle \ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E}
Факт равномерной сходимости последовательности
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
к функции
u
(
x
)
{\displaystyle \ u(x)}
записывается:
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
Функциональный ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
S
n
(
x
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}
— n-ная частичная сумма .
Сходимость
В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности , суммы бесконечного ряда , значения у несобственного интеграла , значения у бесконечного произведения .
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность
S
n
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)}
его частичных сумм сходится поточечно.
Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность
S
n
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)}
его частичных сумм сходится равномерно.
Необходимое условие равномерной сходимости ряда
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
0
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0}
при
k
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle \ k\rightarrow \infty }
Или, что эквивалентно
∀ ∀ -->
ε ε -->
>
0
∃ ∃ -->
n
0
(
ε ε -->
)
∈ ∈ -->
N
:
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
,
∀ ∀ -->
n
>
n
0
|
u
n
(
x
)
|
<
ε ε -->
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\,\,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon }
, где Х - область сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости
Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций
{
f
n
}
n
=
1
∞ ∞ -->
{\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}
, определённых на множестве
V
{\displaystyle V}
, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого
ε ε -->
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
, начиная с некоторого номера
N
=
N
(
ε ε -->
)
{\displaystyle N=N(\varepsilon )}
, при всех
n
,
m
{\displaystyle n,m}
, больше либо равных
N
{\displaystyle N}
, одновременно для всех
x
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle x\in V}
значения функций
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)}
и
f
m
(
x
)
{\displaystyle f_{m}(x)}
различались не более, чем на
ε ε -->
{\displaystyle \varepsilon }
.
∀ ∀ -->
ε ε -->
>
0
∃ ∃ -->
N
=
N
(
ε ε -->
)
∀ ∀ -->
n
,
m
≥ ≥ -->
N
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
V
|
f
n
(
x
)
− − -->
f
m
(
x
)
|
<
ε ε -->
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)-\ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon }
Ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
называется абсолютно сходящимся, если
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
∣ ∣ -->
u
k
(
x
)
∣ ∣ -->
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }
сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Если ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
сходится, а
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
∣ ∣ -->
u
k
(
x
)
∣ ∣ -->
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }
расходится, то ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда .
Признаки равномерной сходимости
Ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:
Ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
v
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{v_{k}}(x)}
сходится равномерно.
∣ ∣ -->
u
k
(
x
)
∣ ∣ --><
v
k
(
x
)
,
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
E
,
∀ ∀ -->
k
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle \ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in \mathbb {N} }
Частным случаем является признак Вейерштрасса , когда
v
k
(
x
)
=
a
k
{\displaystyle \ {v_{k}}(x)=a_{k}}
. Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.
Ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
a
k
(
x
)
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}
сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
Последовательность действительнозначных функций
a
k
(
x
)
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)}
монотонна
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
E
{\displaystyle \ \forall x\in E}
и
a
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
0
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0}
Частичные суммы
S
n
(
x
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}
равномерно ограничены .
Ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
a
k
(
x
)
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}
сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
Последовательность действительнозначных функций
a
k
(
x
)
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)}
равномерно ограничена и монотонна
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
E
{\displaystyle \ \forall x\in E}
.
Ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
равномерно сходится.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
Теоремы о непрерывности
Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве
E
{\displaystyle \ E}
Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.
Последовательность
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
∀ ∀ -->
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна в точке
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Тогда
u
(
x
)
{\displaystyle \ u(x)}
непрерывна в
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
.
Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.
Ряд
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
S
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=0}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}
∀ ∀ -->
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна в точке
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Тогда
S
(
x
)
{\displaystyle \ S(x)}
непрерывна в
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
.
Теоремы об интегрировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.
∀ ∀ -->
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда числовая последовательность
{
∫ ∫ -->
a
b
u
k
(
x
)
d
x
}
{\displaystyle \left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}}
сходится к конечному пределу
∫ ∫ -->
a
b
u
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx}}
.
Теорема о почленном интегрировании.
∀ ∀ -->
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
S
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда числовой ряд
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
∫ ∫ -->
a
b
u
k
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k}}(x)dx}
сходится и равен
∫ ∫ -->
a
b
S
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}S(x)dx}
.
Теоремы о дифференцировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о дифференцировании под пределом.
∀ ∀ -->
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∃ ∃ -->
c
∈ ∈ -->
[
a
,
b
]
:
u
k
(
c
)
{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)}
сходится (к конечному пределу)
u
k
′
(
x
)
⇉ ⇉ -->
ω ω -->
(
x
)
{\displaystyle \ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)}
на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда
∃ ∃ -->
u
(
x
)
:
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
u
(
x
)
,
u
(
x
)
{\displaystyle \ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)}
— дифференцируема на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
,
u
′
(
x
)
=
ω ω -->
(
x
)
{\displaystyle \ u'(x)=\omega (x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Теорема о почленном дифференцировании.
∀ ∀ -->
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
дифференцируема на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∃ ∃ -->
c
∈ ∈ -->
[
a
,
b
]
:
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
c
)
{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(c)}
сходится
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
′
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}
равномерно сходится на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда
∃ ∃ -->
S
(
x
)
:
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
(
x
)
⇉ ⇉ -->
S
(
x
)
,
S
(
x
)
{\displaystyle \ \exists S(x):~\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)}
— дифференцируема на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
,
S
′
(
x
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
u
k
′
(
x
)
{\displaystyle \ S'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Ссылки