Ряд Фурье

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (явление Гиббса^[англ.]).

Ряд Фурье́ — представление функции ${\displaystyle f}$ с периодом ${\displaystyle \tau }$ в виде ряда

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)}$

Этот ряд может быть также записан в виде

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},}$

где

${\displaystyle A_{k}}$ — амплитуда ${\displaystyle k}$-го гармонического колебания,

${\displaystyle k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega }$ — круговая частота гармонического колебания,

${\displaystyle \theta _{k}}$ — начальная фаза ${\displaystyle k}$-го колебания,

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.[1]

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

История

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли[2]. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная)[3] функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией[4]. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле[5] и Бернхард Риман[6][7][8] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики[9], теории перекрытия-оболочки[10] и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье

Основная статья: Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])}$ (то есть функции, суммируемой на промежутке ${\displaystyle ([-\pi ,\pi ])}$, или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),}$ (1)

где

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,}$

Числа ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\ldots }$) называются коэффициентами Фурье функции ${\displaystyle f}$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])}$ в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$. Если умножить правую часть (1) на ${\displaystyle \cos(kx)}$ и проинтегрировать по промежутку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент ${\displaystyle a_{k}}$. Аналогично для ${\displaystyle b_{k}}$.

Ряд (1) для функции ${\displaystyle f}$ из пространства ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])}$ сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через ${\displaystyle S_{k}(x)}$ частичные суммы ряда (1):

${\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции ${\displaystyle f}$ будет стремиться к нулю:

${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0}$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx}$.

Мы также рассматриваем систему функций

${\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$,

где ряд в правой части сходится к ${\displaystyle f}$ по норме в ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$. Здесь

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx}$.

Коэффициенты ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{0}=a_{0}/2}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0}$

${\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0}$

${\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0}$

Для вещественнозначной функции коэффициенты ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ и ${\displaystyle {\hat {f}}_{-k}}$ комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle f}$ — произвольный элемент из ${\displaystyle H}$. Предположим, что мы хотим представить ${\displaystyle f}$ в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$:

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.}$

Домножим это выражение на ${\displaystyle \varphi _{k}}$. С учётом ортогональности системы функций ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при ${\displaystyle n=k}$:

${\displaystyle (f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.}$

Числа

${\displaystyle c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}}$

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента ${\displaystyle f}$ по системе ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$, а ряд

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}\varphi _{k}}$

называется рядом Фурье элемента ${\displaystyle f}$ по ортогональной системе ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$.

Ряд Фурье любого элемента ${\displaystyle f}$ по любой ортогональной системе сходится в пространстве ${\displaystyle H}$, но его сумма не обязательно равна ${\displaystyle f}$. Для ортонормированной системы ${\displaystyle {\varphi _{k}}}$ в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в ${\displaystyle H}$ не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$ одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого ${\displaystyle f\in H}$ выполнено равенство Парсеваля

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2}}$.

• линейные комбинации элементов ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$ плотны в пространстве ${\displaystyle H}$.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента ${\displaystyle f}$ равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.}$

Примеры

Тригонометрические функции ${\displaystyle \sin(kx)}$, ${\displaystyle \cos(kx)}$ образуют базис гильбертова пространства ${\displaystyle L_{2}[-\pi ,\pi ]}$. Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций ${\displaystyle \cos(kx)}$ - это все четные функции из ${\displaystyle L_{2}}$, а замыкание линейной оболочки функций ${\displaystyle \sin(kx)}$ - все нечетные функции. Результатом разложения функции ${\displaystyle f}$ в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$

${\displaystyle \sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$

Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы ${\displaystyle \{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty }}$. Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди ${\displaystyle H_{2}}$. Элементы этого пространства -- те и только те функции ${\displaystyle f\in L_{2}}$, которые имеют вид ${\displaystyle f(t)=g(e^{it})}$, где ${\displaystyle g}$ — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге ${\displaystyle |z|<1.}$

Двойственность Понтрягина

Основная статья: Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ частичные суммы ряда Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ к функции ${\displaystyle f(x)}$ в различных смыслах. Функция ${\displaystyle f}$ предполагается ${\displaystyle 2\pi }$-периодической (если она задана только на промежутке ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, её можно периодически продолжить).

• Если ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$, то последовательность ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ сходится к функции ${\displaystyle f(x)}$ в смысле ${\displaystyle L_{2}}$. Кроме того, ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ являются наилучшим (в смысле расстояния в ${\displaystyle L_{2}}$) приближением функции ${\displaystyle f}$ тригонометрическим многочленом степени не выше ${\displaystyle N}$.
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке ${\displaystyle x_{0}}$ — локальное свойство, то есть, если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ совпадают в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$, то последовательности ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ и ${\displaystyle S_{N}(g,x_{0})}$ либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
• Если функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то её ряд Фурье в этой точке сходится к ${\displaystyle f(x_{0})}$. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции ${\displaystyle f}$ задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке ${\displaystyle x_{0}}$, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к ${\displaystyle f(x_{0})}$. Это следует из того, что для непрерывной в ${\displaystyle x_{0}}$ функции ${\displaystyle f}$ последовательность ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ сходится по Чезаро к ${\displaystyle f(x_{0})}$.
• Если функция ${\displaystyle f}$ разрывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, но имеет пределы в этой точке справа и слева ${\displaystyle f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),}$ то при некоторых дополнительных условиях ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ сходятся к ${\displaystyle (f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2}$. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если ${\displaystyle f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1}$. Однако, существуют функции из ${\displaystyle L_{1}([-\pi ,\pi ])}$, ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым[11]).
• Зафиксируем точку ${\displaystyle x_{0}\in (-\pi ,\pi )}$. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве ${\displaystyle C([-\pi ,\pi ])}$. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса ${\displaystyle C^{(k)}}$, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега^[англ.]).
• Если функция ${\displaystyle f}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$, то есть дифференцируема ${\displaystyle k}$ раз и её ${\displaystyle k}$-я производная непрерывна, то ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}$
• Если ряд ${\displaystyle \sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}}$ сходится абсолютно, то ${\displaystyle f}$ совпадает почти всюду с функцией класса ${\displaystyle C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$ при всех ${\displaystyle k<\alpha }$.
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем ${\displaystyle \alpha >1/2}$, то ряд ${\displaystyle \sum {\hat {f}}_{n}}$ сходится абсолютно (теорема Бернштейна).^[источник не указан 713 дней]

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС-теорема
• Натуральный звукоряд
• Явление Гиббса^[англ.]

Примечания

1. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 619.
2. Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. — Courier, 2003. — P. 209—210. — ISBN 978-0-486-43261-8. Архивная копия от 18 апреля 2021 на Wayback Machine
3. Stillwell, John^[англ.]. Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century // Routledge History of Philosophy / Ten, C. L.. — Routledge, 2013. — Т. Volume VII: The Nineteenth Century. — С. 204. — ISBN 978-1-134-92880-4. Архивировано 16 мая 2020 года.
4. Florian Cajori. A History of Mathematics. — Macmillan, 1893. — С. 283.
5. Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav^[англ.]. Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1829. — Vol. 4. — P. 157—169. — arXiv:0806.1294.
6. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (нем.). Habilitationsschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Архивировано 20 мая 2008 года.
7. Mascre, D.; Riemann, Bernhard (1867), "Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series", in Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier (published 2005), p. 49
8. Remmert, Reinhold. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics (англ.). — Springer, 1991. — P. 29. Архивировано 16 мая 2020 года.
9. Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics (англ.). — Elsevier, 1995. — ISBN 0-12-515751-7.
10. Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (нем.). — Berlin: Springer-Verlag, 1957. Архивировано 14 мая 2020 года.
11. В. М. Тихомиров, В. В. Успенский. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.

Литература

• Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
• Харди Г. Х., Рогозинский В. В.^[англ.]. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.
• Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям : учеб. пос. / А. П. Хромов, В. А. Халова; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2009. ISBN 978-5-292-03945-7

Ссылки

• Представление периодических сигналов. Ряд Фурье  (неопр.).
• Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье  (неопр.).