Замыкание (алгебра)

Замыкание — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение заданного набора операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

В универсально-алгебраической нотации: для некоторой алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,\Sigma \rangle }$, замыканием множества ${\displaystyle M\subseteq A}$ относительно сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$ называется минимальная подалгебра ${\displaystyle \langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak {A}}}$, содержащая ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle M\subseteq A_{0}}$).

Например, замыканием множества ${\displaystyle \{1\}}$ относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$; замыканием множества ${\displaystyle \{1\}}$ относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. При этом замыкание множества ${\displaystyle \{0\}}$ относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ в его расширении ${\displaystyle K'}$ — поле всех алгебраических над ${\displaystyle K}$ элементов ${\displaystyle K'}$ — важнейший общеалгебраический пример применения конструкции замыкания.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций). Например, подгруппа замкнута относительно групповой операции; подмножество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в множестве целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.

Сходным образом определяется замыкание отношения, если вместо алгебр рассматриваются модели — алгебраические системы без операций. Идея алгебраического замыкания обобщена в теории порядков: оператором замыкания в ней называется всякая операция на частичном порядке, удовлетворяющая условиям экстенсивности, монотонности и идемпотентности — алгебраическое замыкание также удовлетворяет этим свойствам на булеане носителя алгебры.