Ортогональный базис

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортогона́льный (ортонорми́рованный) ба́зис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Мнемоническое правило для определения ориентации базиса. Слева — левоориентированный базис, справа — правоориентированный.

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет ещё и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

${\displaystyle (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},}$

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (${\displaystyle i\neq j}$), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

${\displaystyle \ \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n}} }$

можно найти так:

${\displaystyle \ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} )}}.}$

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=\sum _{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )^{2},}$

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n},...}$ гильбертова пространства ${\displaystyle X}$ такая, что любой элемент ${\displaystyle x\in X}$ однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n},}$

называемого рядом Фурье элемента ${\displaystyle x}$ по системе ${\displaystyle \{e_{n}\}}$.

Часто базис ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ выбирается так, что ${\displaystyle |e_{n}|=1}$, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа ${\displaystyle a_{n}}$, называются коэффициентами Фурье элемента ${\displaystyle x}$ по ортонормированному базису ${\displaystyle \{e_{n}\}}$, имеют вид

${\displaystyle a_{n}=(x,e_{n})}$.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ такая, что ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty }$, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}}$ — сходится по норме к некоторому элементу ${\displaystyle x\in X}$. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству ${\displaystyle l_{2}}$ (теорема Рисса — Фишера).

Примеры

• Стандартный базис ${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{\mathrm {T} },e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{\mathrm {T} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{\mathrm {T} }}$ в n-мерном евклидовом пространстве R^n является ортонормированным.

• Множество ${\displaystyle \{f_{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{inx},n\in \mathbb {Z} \}}$ образует ортонормированный базис в ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

См. также

• Ортонормированная система
• Ортогонализация
• Процесс Грама ― Шмидта
• Флаг (математика)