Векторное исчисление

Векторное произведение векторов

Ве́кторное исчисле́ние (англ. Vector calculus) — раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1][2][3][4][5].

Векторное исчисление, как и любое другое исчисление, использует определённые операции над векторами, такие, как сложение, умножение, дифференцирование. Операции определены так, чтобы их легко можно было интерпретировать в математике, механике и физике[6].

Например, в физике постоянно встречается правило параллелограмма: параллелограмм сил, скоростей и так далее. Именно этому правилу и отвечает операция сложения векторов[6].

Поэтому, с одной стороны, использование векторного исчисления при изучении соответствующих явлений упрощает исследование, а с другой стороны, исследование получается более наглядным и естественным без дополнительного введения посторонних элементов, таких как координаты[6].

Подразделения векторного исчисления

В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторное исчисление подразделяется на[1][2][3][7][5]:

• векторную алгебру;
• векторный анализ.

Векторная алгебра изучает[1][2][3][8][5]:

• линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число);
• различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное).

Векторный анализ изучают векторы как функции от одного или нескольких скалярных аргументов[1][2][3][9][5].

Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление, изучающее тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на[10]:

• тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру);
• тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.

Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии, используемой, в том числе, в современной теоретической физике[10].

Дальнейшее развитие математики в этом направлении привело к появлению следующих разделов, тесно взаимодействующих с современной физикой[11]:

• функциональный анализ;
• теория представление непрерывных групп;
• исчисление геометрических объектов.

Возникновение и развитие

Векторное исчисление появилось в результате востребованности механикой и физикой[12][2][13][1][5]. До XIX века вектор задавали только с помощью координат, операции над векторами были вычислениями координат. Только в середине XIX века было создано векторное исчисление, которое позволило оперировать непосредственно векторами, без привлечения каких-либо координат[2][1][14].

Основы векторного исчисления заложены в середине XIX века двумя учёными[12][14]:

• одним из лучших математиков того времени, механиком-теоретиком и физиком-теоретиком ирландцем сэром Гамильтоном;
• немецким геометром, физиком и филологом Грассманом в трудах по гиперкомплексным числам.

Эти два математика независимо друг от друга различными способами открыли векторные операции. Но в то время еще не было физических теорий, существенно использующих векторное исчисление[12].

Катализатором интенсивного развития и распространения векторного исчисления явилось создание шотландским физиком Максвеллом теории электромагнитного поля в «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873), где решающее значение имели понятия векторного исчисления. Все современные учебные курсы теоретической механики, газо-, гидро- и электродинамики, аналитической и дифференциальной геометрии и так далее основаны на векторном исчислении[12][13].

Современный вид векторного исчисления возник в трудах американского физика, физикохимика, математика и механика Гиббса[2][14].

Русские учёные существенно развили векторное исчисление. Признанный лидер математиков Российской империи в 1830—1860-е годы Остроградский доказал основную теорему векторного исчисления. Русский и советский математик и механик Котельников, развивая своё винтовое исчисление, внес важный вклад в механику и геометрию. Советские математики и механики Зейлигер и Широков продолжили эти исследования. Русский математик и механик Сомов написал книгу «Векторный анализ» (1907), оказавшую сильное влияние на развитие векторного исчисления[14].

Такое широкое использование векторного исчисления можно объяснить его свойствами[11]:

• векторная терминология правильно отражает многие понятия и закономерности как геометрии, так и физики;
• векторное исчисление обеспечивает единство аналитического и геометрического подходов, в итоге векторные формулы и вычисления сжаты, наглядны и ясны;
• векторные формулы, отражающие физические закономерности, не зависят от выбора координат, другими словами, инвариантны, а также отражают суть явлений в "чистом виде".

Потребности физики привела к созданию в начале XX века усилиями многих учёных тензорное исчисление, обобщающее теорию векторов. В дальнейшем результате объединения понятий алгебры, анализа и геометрии появились новые отрасли математики: функциональный анализ, теория представление непрерывных групп, исчисление геометрических объектов и так далее. Эти новые направления математики, организующие принципы векторного исчисления, переплелись с понятиями современной физики[11].

Разделы векторного исчисления

Векторная алгебра

В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[15]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[16]

Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[17].

Векторный анализ

Основная статья: Векторный анализ

Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[18]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:

• Градиент
• Теорема о дивергенции вектора;
• Теорема о циркуляции вектора;
• Уравнение Лапласа;
• Уравнение Пуассона;
• Теорема разложения Гельмгольца;
• Теорема Умова[19].

Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре ${\displaystyle D\left(M\right)}$. Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[20].

Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[21], в теории обработки сигналов[22], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[23], алгебраической геометрии[24] и т. д.

Примечания

1. Иванов А. Б. Векторное исчисление, 1977.
2. Векторное исчисление, 1988.
3. Векторное исчисление, 1984.
4. Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366, 368.
5. Vector calculus, 2011.
6. Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 1. Определение скаляра.…, с. 8.
7. Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366, 368.
8. Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366—367.
9. Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 367—369.
10. Онищик А. Л. Тензорное исчисление, 1985.
11. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Введение, с. 10.
12. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Введение, с. 9.
13. Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366.
14. Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366.
15. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 632—636
16. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М., Наука, 1970
17. Онищук А. Л. Тензорная алгебра. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 329
18. Иванов А. Б. Векторный анализ. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 648
19. движения энергии в телах (Умов)/I
20. Онищук А. Л. Тензорный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 333
21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 399
22. Самойло К. А. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Радио и связь, 1982, с. 39
23. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 103
24. Чеботарёв Н. Г. Теория алгебраических функций. М., ОГИЗ, 1948, с. 385

Источники

• Векторное исчисление // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 30.
• Векторное исчисление // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 109.
• Иванов А. Б. Векторное исчисление // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 640.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Онищик А. Л. Тензорное исчисление // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 330.
• Позняк Э. Г. Векторное исчисление // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1971. Т. 4. Брасос — Веш. 1971. 600 с. с илл., 39 л. илл., 8 л. карт. С. 366—369.
• Vector calculus // Encyclopedia of Mathematics Архивная копия на Wayback Machine