Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.
Определение
Для данной матрицы многочлен , где — единичная матрица, является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).
Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет ненулевое решение, то , значит матрица вырождена и её определитель равен нулю.
Связанные определения
- Матрицу называют характеристической матрицей матрицы .
- Уравнение называют характеристическим уравнением матрицы .
- Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.
Свойства
- Для матрицы характеристический многочлен имеет степень .
- Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
- Теорема Гамильтона — Кэли: если — характеристический многочлен матрицы , то .
- Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: .
- Характеристический многочлен обратной матрицы: .
Доказательство:
- Если и — две матрицы , то . В частности, отсюда вытекает, что след их произведения и .
- В более общем виде, если — матрица , а — матрица , причем , так, что и — квадратные матрицы размеров и соответственно, то:
- .
Ссылки
Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|