Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем[1]:

${\displaystyle A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l}+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.}$

Связанные определения

Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени ${\displaystyle l}$ и нет элементов матрицы степени большей чем ${\displaystyle l}$, то ${\displaystyle l}$ — степень λ-матрицы. Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде

${\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},}$

где все ${\displaystyle A_{j}}$ — матрицы. В случае если определитель матрицы ${\displaystyle A_{l}}$ отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной[2]. Пример нерегулярной λ-матрицы:

${\displaystyle A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2}+\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^{2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть ${\displaystyle A\left(\lambda \right)}$ и ${\displaystyle B\left(\lambda \right)}$ — λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ соответственно, и ${\displaystyle k=\max \left\lbrace l,m\right\rbrace }$. Тогда можно записать, что

${\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},}$

${\displaystyle B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_{0},}$

где хотя бы одна из матриц ${\displaystyle A_{k}}$ и ${\displaystyle B_{k}}$ — ненулевая. Отсюда[3]

${\displaystyle A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0}),}$

${\displaystyle A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_{0}).}$

Деление

Предположим, что ${\displaystyle B(\lambda )}$ — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы ${\displaystyle Q(\lambda )}$ и ${\displaystyle R(\lambda )}$ с ${\displaystyle R(\lambda )\equiv 0}$ или со степенью ${\displaystyle R(\lambda )}$, меньшей степени ${\displaystyle B(\lambda )}$, что

${\displaystyle A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )}$.

В этом случае ${\displaystyle Q(\lambda )}$ называется правым частным ${\displaystyle A(\lambda )}$ при делении на ${\displaystyle B(\lambda )}$, а ${\displaystyle R(\lambda )}$ — правым остатком. Подобно этому ${\displaystyle {\hat {Q}}(\lambda )}$ и ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}$ — левое частное и левый остаток при делении ${\displaystyle A(\lambda )}$ на ${\displaystyle B(\lambda )}$, если

${\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )}$

и ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )\equiv 0}$ или степень ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}$ меньше степени ${\displaystyle B(\lambda )}$.

Если правый (левый) остаток равен 0, то ${\displaystyle Q(\lambda )}$ ${\displaystyle ({\hat {Q}}(\lambda ))}$ называется правым (левым) делителем ${\displaystyle A(\lambda )}$ при делении на ${\displaystyle B(\lambda )}$[4].

Если ${\displaystyle B(\lambda )}$ — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении ${\displaystyle A(\lambda )}$ на ${\displaystyle B(\lambda )}$ существуют и единственны[5].

λ-матрицы с матричными аргументами

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

${\displaystyle a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l}a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0},}$

поэтому мы определяем правое значение ${\displaystyle A(B)}$ λ-матрицы ${\displaystyle A(\lambda )}$ в матрице ${\displaystyle B}$ как

${\displaystyle A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0}}$, если ${\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0}}$

и левое значение ${\displaystyle {\hat {A}}(B)}$ как:

${\displaystyle {\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+A_{0}}$,

и в общем случае ${\displaystyle A(B)\neq {\hat {A}}(B)}$[6].

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы ${\displaystyle A(\lambda )}$ на ${\displaystyle \lambda E-B}$, где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица, является ${\displaystyle A(B)}$ и ${\displaystyle {\hat {A}}(B)}$ соответственно[7].

Свойство доказывается через следующее разложение на множители:

${\displaystyle \lambda ^{j}E-B^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B).}$

При умножении обеих частей этого равенства на ${\displaystyle A_{j}}$ слева и сложении всех полученных равенств при ${\displaystyle j=1,\cdots ,l}$ правая часть будет иметь вид ${\displaystyle C(\lambda )(\lambda E-B)}$, где ${\displaystyle \ C(\lambda )}$ — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна

${\displaystyle \sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A(B).}$

Таким образом,

${\displaystyle A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)}$.

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на ${\displaystyle A_{j}}$ справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица ${\displaystyle A(\lambda )}$ делилась без остатка на ${\displaystyle \lambda E-B}$ справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle A(B)=0}$ ${\displaystyle \left({\hat {A}}(B)=0\right)}$[7].

Примечания

1. Гантмахер, 1966, с. 135.
2. Ланкастер, 1982, с. 116.
3. Ланкастер, 1982, с. 116—117.
4. Ланкастер, 1982, с. 117.
5. Ланкастер, 1982, с. 117—118.
6. Ланкастер, 1982, с. 119.
7. Гантмахер, 1966, с. 92.

Литература

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер, П.. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1982.