Теорема Безу

См. другое значение: Теорема Безу (алгебраическая геометрия) о числе общих точек алгебраических кривых.

Не следует путать с Соотношением Безу (тождеством Безу) — выражением для наибольшего общего делителя.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ равен ${\displaystyle P(a)}$.

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle x-a}$:

${\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),}$

где ${\displaystyle R(x)}$ — остаток. Так как ${\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1}$, то ${\displaystyle R(x)}$ — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за ${\displaystyle r}$. Подставляя ${\displaystyle x=a}$, поскольку ${\displaystyle (a-a)Q(a)=0}$, имеем ${\displaystyle P(a)=R(x)=r}$.

Следствия

• Число ${\displaystyle a}$ является корнем многочлена ${\displaystyle P(x)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P(x)}$ делится без остатка на двучлен ${\displaystyle x-a}$ (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена ${\displaystyle P(x)}$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения ${\displaystyle P(x)=0}$).
• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
• Пусть ${\displaystyle a}$ — целый корень приведённого многочлена ${\displaystyle A(x)}$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого ${\displaystyle k}$ число ${\displaystyle A(k)}$ кратно ${\displaystyle a-k}$.

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также

• Основная теорема алгебры

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
• Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.