Вектор-функция

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {V} }$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

• одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в ${\displaystyle \mathbb {V} }$ некоторую кривую;
• m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в ${\displaystyle \mathbb {V} }$, вообще говоря, m-мерную поверхность;
• векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на ${\displaystyle \mathbb {V} }$.

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ отображает некоторый интервал вещественных чисел ${\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}}$ в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }$, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}} }$

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Предел вектор-функции

Вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ имеет предел ${\displaystyle \mathbf {r_{0}} }$ при ${\displaystyle t\to t_{0}}$ (или при ${\displaystyle t\to \infty }$), если

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0\quad (\lim _{t\to \infty }|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0)}$

(здесь и далее ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ обозначает модуль вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$). Этот предел можно переписать без модуля[1][2][3]:

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t)=\mathbf {r_{0}} \quad (\lim _{t\to \infty }\mathbf {r} (t)=\mathbf {r_{0}} ).}$

Другими словами, это означает, что геометрически переменный вектор ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ при ${\displaystyle t\to t_{0}}$ стремится к постоянному вектору ${\displaystyle \mathbf {r_{0}} }$ по длине и по направлению[2].

Предел вектор-функции

Выберем неподвижную точку ${\displaystyle O}$, в которую поместим начало переменного вектора ${\displaystyle \mathbf {r} (t)={\overrightarrow {OR}}(t)}$ (см. рисунок справа). В случае, когда при ${\displaystyle t\to t_{0}}$ подвижный конец ${\displaystyle R}$ переменного вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {OR}}(t)}$ стремится к неподвижной точке ${\displaystyle R_{0}}$, неподвижный вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {OR_{0}}}=\mathbf {r_{0}} }$ есть предел переменного вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {OR}}(t)=\mathbf {r} (t)}$. Разность векторов ${\displaystyle \mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} }$ есть вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {R_{0}R}}(t)}$, а модуль последнего бесконечно мал[1].

В случае, когда у вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ её модуль ${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|}$ бесконечно мал, сам вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ называется бесконечно малым[1][2]. Порядком малости такого вектора называется порядок малости его модуля ${\displaystyle |\mathbf {r} |}$[1].

Непрерывность вектор-функции определяется такими же способами, как непрерывность обычной скалярной функции (то есть следующим образом[4]:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\lim _{\Delta t\to 0}\mathbf {r} (t+\Delta t)}$),

при этом непрерывность вектор-функции можно наглядно выразить как сплошную линию её годографа[1][2]. Вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ — непрерывная (векторная) функция аргумента ${\displaystyle t}$ тогда и только тогда, когда координаты вектора — тоже непрерывные (скалярные) функции от ${\displaystyle t}$[1].

Предел вектор-функции имеет обычные свойства.

• Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
• Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
• Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ по параметру:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}$.

Если производная в точке ${\displaystyle t}$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут ${\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}$.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — производная суммы есть сумма производных
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}$ — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — дифференцирование скалярного произведения.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}$ — дифференцирование векторного произведения.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}$ — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)}$ (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)}$ имеет вид:

${\displaystyle x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)}$

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём ${\displaystyle \left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]}$ не обращается тождественно в ноль.

Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

${\displaystyle u=u(t);\ v=v(t)}$,

где t — параметр кривой. Зависимости ${\displaystyle u(t),\ v(t)}$ предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

${\displaystyle u=t;\ v=const}$ — первая координатная линия.

${\displaystyle u=const;\ v=t}$ — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек (${\displaystyle \left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]}$ нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Примечания

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 354. Предел вектор-функции, с. 515.
2. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ, 1978, § 2. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента, с. 9.
3. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления, 1966, 1.7. Переменные векторы, с. 35.
4. Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Переменные векторы.…, с. 77.

Источники

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Изд-е 3-е. М.: Высшая школа, 1966. 252 с., ил.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. (Серия: «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов») М.: Наука, 1978. 159 с., ил.