QR-разложение

-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма[1].

Определение

Матрица размера , где , с комплексными элементами может быть представлена в виде

где  — матрица размера с ортонормированными столбцами, а  — верхнетреугольная матрица размера . При матрица унитарная. Если при этом невырождена, то -разложение единственно и матрица может быть выбрана так, чтобы её диагональные элементы были положительными вещественными числами. В частном случае, когда матрица состоит из вещественных чисел, матрицы и также могут быть выбраны вещественными, причём является ортогональной[2].

По аналогии, если — матрица размера , где , то она может быть разложена как

где матрица порядка нижнетреугольная, а матрица размера имеет ортонормированные строки[1].

Алгоритмы

-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта[2]. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью[3].

Альтернативные алгоритмы для вычисления -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса[4].

Пример QR-разложения

Рассмотрим матрицу:

Через обозначим векторы-столбцы заданной матрицы Получаем следующий набор векторов:

Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама — Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:

Из полученных векторов составляем по столбцам матрицу Q из разложения:

Полученная матрица является ортогональной, это означает, что

Найдем матрицу из выражения :

 — искомая верхнетреугольная матрица.

Получили разложение .

Примечания

  1. 1 2 Horn, Johnson, 1990, p. 114.
  2. 1 2 Horn, Johnson, 1990, p. 112.
  3. Horn, Johnson, 1990, p. 116.
  4. Horn, Johnson, 1990, p. 117.

Литература

  • Horn, R. A., Johnson C. R.. Matrix analysis (англ.). — Cambridge University Press, 1990. — ISBN 0-521-30586-1.