Коллинеарность

Коллинеа́рность (от лат. col — совместность и лат. linearis — линейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой^[1]. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены (сонаправлены) или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют антиколлинеарными, или антипараллельными).

Основное обозначение — ${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}$ ; сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются как ${\vec {a}}\upuparrows {\vec {b}}$ , противоположно направленные — ${\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}$ .

Свойства

Отношение коллинеарности рефлексивно ( ${\vec {a}}||{\vec {a}}$ ).
Отношение коллинеарности симметрично ( ${\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}$ ).
Отношение коллинеарности ненулевых векторов транзитивно: если ${\vec {a}}||{\vec {b}},\ {\vec {b}}||{\vec {c}}$ и ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ , то ${\vec {a}}||{\vec {c}}$ .
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Если ${\vec {a}}||{\vec {b}}$ и ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ , то существует действительное число $\lambda$ такое, что ${\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}\;$ (причём $\lambda >0$ , если векторы сонаправлены, и $\lambda <0$ , если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0. На плоскости два неколлинеарных вектора ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ образуют базис. Это значит, что любой вектор ${\vec {c}}$ можно представить в виде: ${\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}$ . Тогда $\;\{x_{1},x_{2}\}$ будут координатами ${\vec {c}}$ в данном базисе.
Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «минус», если векторы противоположно направлены).
Векторное произведение коллинеарных векторов равно 0 — необходимое и достаточное условие коллинеарности.

Обобщения

Критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой^[1].

Примечания

↑ ¹ ² А.Б.Иванов. Коллинеарные векторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.