Вычитание векторов

Обзорные статьи: Линейная операция и Вектор (геометрия)

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов c = a – b

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (англ. subtraction of vectors), — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы[1][2][3][4][5]. При этом разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a} }$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием противоположного вектора, либо без[6][7][8][9][10][5]. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым[11][3][4][5].

Определение

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком минус[1][2][3][4][5]:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} .}$

Определение без использования противоположного вектора

Параллелограмм сложения и вычитания векторов

Следующее определение разности аналогично определению разности чисел[12].

Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a} }$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)[6][7][8][9][10][5][12].

Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построения[12].

Правило построения разности векторов без обратного вектора состоит в следующем. Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ любых двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, отложенных от одной точки, — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$, проведённый от конца вектора ${\displaystyle \mathbf {b} }$ к концу вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)[6][7][10][5][12].

Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствами[12]:

• всегда выполнима;
• однозначна, то есть из ${\displaystyle \mathbf {b} +\mathbf {x} =\mathbf {b} +\mathbf {y} }$ следует ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} .}$

Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов)[10].

Противоположный вектор

Вектор, противоположный данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$, обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком минус (см. рисунок справа)[8][9][10][11][12][13][14][15]: ${\displaystyle -\mathbf {a} .}$

Также противоположный вектор можно определить как вектор ${\displaystyle \mathbf {0} -\mathbf {a} }$[12].

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов есть сумма векторов
c = a + (–b)

Из определения противоположного вектора следуют равенства[11][14][15][16]:

${\displaystyle -(-\mathbf {a} )=\mathbf {a} ,\quad |-\mathbf {a} |=|\mathbf {a} |,\quad \mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {0} .}$

Определение с использованием противоположного вектора

Теорема 1.

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$

для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (см. рисунок справа)[14][16].

Доказательство. Из определения разности векторов получаем[10][14]:

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} ,}$${\displaystyle \quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {0} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ),}$${\displaystyle \quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ).}$

На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образом[14][11][16].

Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$ (см. рисунки справа)[5][11][16].

Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора состоит в следующем. Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ любых двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$, проведённый от начала вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ к концу вектора ${\displaystyle -\mathbf {b} }$, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа)[14].

Параллелограмм вычитания произвольных векторов: разность векторов строится как при помощи противоположного вектора, так и без

Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 2. Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:

${\displaystyle \mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} }$

для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа)[17].

Доказательство. Вычислим[1]:

${\displaystyle \mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} +\mathbf {0} =\mathbf {a} .}$

Теорема 3. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком[1][16][18].

Доказательство. Пусть

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {c} .}$

Тогда по теореме 2 получаем[1][16][18]:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {c} .}$

Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чисел[16].

Правило раскрытия скобок

Теорема 4. Правило раскрытия скобок[19].

${\displaystyle (\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).}$

Доказательство[19]

В силу определения разности двух векторов из исходного выражения получаем[19]:

${\displaystyle (\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n})).}$

Обозначим эту сумму через ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и опустим внешние скобки по сочетательному закону сложения векторов[19]:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})+\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}).}$

Несколько раз используем переместительный закон сложения векторов[19]:

${\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n}).}$

Прибавим к обеим частям равенства сумму векторов

${\displaystyle (\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})}$

и используем законы сложения векторов[19]:

${\displaystyle \mathbf {x} +(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}}$

${\displaystyle {}+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n})+\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}}$

${\displaystyle {}+(\mathbf {b} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {b} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {b} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}))=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+\mathbf {0} +\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =}$

${\displaystyle =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n}.}$

По теореме 3 окончательно имеем[19]:

${\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).}$

Модуль разности

Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенство треугольника: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторов[20]:

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |.}$

В случае коллинеарных векторов[21]:

• если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} |\geqslant |\mathbf {b} |;}$

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |,\quad |\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |.}$

Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже)[5]:

• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |<|\mathbf {a} |;}$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |;}$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |>|\mathbf {a} |.}$

Три случая величины модуля разности векторов: слева |a – b| < |a|, в центре |a – b| = |a|, справа |a – b| > |a|,

Имеет место следующее тождество:

${\displaystyle 2|\mathbf {a} |^{2}+2|\mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}}$,

другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе Определение без использования противоположного вектора)[22].

Примечания

1. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22.
2. Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 8, 10.
3. Вычитание, 1988.
4. Вычитание, 1977.
5. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Вычитание векторов, с. 122.
6. Разность векторов, 1984.
7. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 198.
8. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 633.
9. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1988, с. 108.
10. Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 10.
11. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21.
12. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 304.
13. Противоположный вектор, 1984.
14. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 199.
15. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 85. Противоположные векторы, с. 119.
16. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 305.
17. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21—22.
18. Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 22.
19. Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23.
20. Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 24.
21. Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 25.
22. Погорелов А. В. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава IV. Векторы. § 1. Сложение и вычитание векторов, с. 69.

Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1985. 232 с., ил.
• Вычитание // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 828.
• Вычитание // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 135.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Противоположный вектор // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 356.
• Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. 3-е изд. М.: Наука, 1968. 176 с., ил.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 107—109.
• Разность векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 369.