Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является неевклидовой кристаллографической группой[англ.] (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области. Ассоциированная мозаика является разделённой семиугольной мозаикой порядка 3[англ.]. Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является фуксовой группой (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой).
Группа может быть задана при помощи пары генераторов, g2, g3, со следующими соотношениями:
Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2π/2, 2π/3 и 2π/7 вокруг вершин треугольника Шварца.
Алгебра кватернионов
Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем R-порядке[англ.][2] в алгебре кватернионов. Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1.
Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из равенства
видим, что Q(η) является полностью вещественным кубическим расширением Q. Гиперболическая группа треугольника (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов i и j и отношениями i2 = j2 = η, ij = −ji. Можно выбрать подходящий порядок кватернионов Гурвица[англ.] в алгебре кватернионов. Здесь порядок порождается элементами
Фактически порядок является свободным Z[η]-модулем над базисом . Генераторы удовлетворяют условиям
которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру.
Связь с SL(2,R)
Расширив скаляры из Q(η) в R (путём стандартного вложения), получим изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2,R) вещественных 2 х 2 матриц. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай фуксовой группы в SL(2,R), а именно как факторгруппу модулярной группы. Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке — мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства.
Однако для многих целей нет необходимости в явном задании изоморфизма. Так, следы элементов группы (а следовательно, расстояние перемещения гиперболических элементов в верхней полуплоскости, как и систолы фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью сокращённых следов в алгебре кватернионов по формуле
Примечания
↑Под «треугольной группой (2,3,7)» чаще всего понимается не полная треугольная группа Δ(2,3,7) (группа Коксетера с треугольником Шварца (2,3,7), или реализованная как гиперболическая группа отражений[англ.]), а именно «обычная» треугольная группа .
↑Слово «порядок» многозначно. В данном контексте под порядком понимается порядок кольца (R-порядок). См. книгу Райнера «Максимальные порядки» (Reiner 2003).
M. Katz, M. Schaps, U. Vishne. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom.. — 2007. — Т. 76, вып. 3. — С. 399–422.