Риманова поверхность

Риманова поверхность для функции ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}}$

${\displaystyle f(z)=\log z}$

${\displaystyle f(z)=\arcsin z}$

Ри́манова пове́рхность — математический объект, традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия.

Примерами римановых поверхностей являются комплексная плоскость и сфера Римана. Поверхность Римана позволяет геометрически представить многозначные функции комплексного переменного таким образом, что каждой её точке соответствует одно значение многозначной функции, причём при непрерывном перемещении по поверхности непрерывно изменяется и функция[1]. Каноническим видом поверхности Римана является представление в виде плоской лепёшки с некоторым количеством дыр[2].

Топологической характеристикой римановой поверхности является род; поверхность рода ${\displaystyle g=0}$ — это сфера, поверхность рода ${\displaystyle g=1}$ — тор[3].

История

Поверхности такого рода систематически изучать начал Бернхард Риман (1826—1866).

По мнению Феликса Клейна, идея римановой поверхности принадлежит еще Галуа: в предсмертном письме он упоминает среди своих достижений какие-то исследования по «двусмысленности функций» (фр. ambiguïté des functions)[4].

См. также

• Модули римановой поверхности
• Конформное отображение
• Теорема об униформизации

Примечания

1. Голубев, 1941, с. 76.
2. Голубев, 1941, с. 78.
3. Риманова поверхность — статья из Математической энциклопедии. Е. Д. Соломенцев
4. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: В 2 т.: Пер. с нем. М.: Наука, 1989. Т. 1, стр. 105.

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: Гостехтеориздат, 1941. — 400 с.

• Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. — М., 1967.