Параллелоэдр

Параллелоэдр ― выпуклый многогранник, параллельным перенесением которого можно замостить пространство, то есть покрыть евклидово пространство так, чтобы многогранники не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой [1].

Примеры и свойства

  • Все параллелоэдры (любой размерности) являются центрально-симметричными многогранниками. Все гиперграни параллелоэдра также центрально-симметричны.
  • В двумерном и трёхмерном случаях все параллелоэдры являются зоноэдрами. Обратно, любой зоноэдр, имеющий один из описанных топологических типов, является параллелоэдром.
  • Уже в четырёхмерном пространстве не все параллелоэдры являются зоноэдрами.

История

Начало теории параллелоэдров было положено в XIX веке трудами Фёдорова и Минковского.

Замечательный вклад в неё внёс Г. Ф. Вороной, доказав, что всякий примитивный параллелоэдр аффинно эквивалентен DV-области некоторой решётки.

В XX веке теорию параллелоэдров развивали Б.Н. Делоне, Б. А. Венков, С. С. Рышков, П. Макмаллен (P. Macmallen) и другие.

В последнее время изучение всех решётчатых параллелоэдров сведено к изучению так называемых коренных параллелоэдров, которые образуют в некотором роде базис параллелоэдров. Теорема о представлении любого решётчатого параллелоэдра в виде суммы Минковского конечного числа коренных параллелоэдров была сформулирована С. С. Рышковым. Подробное доказательство этой теоремы дано в совместной статье С. С. Рышкова и Е. А. Большаковой.

Примечания

  1. ↑ Александров, 1950, с. 321.

Литература

  • А.Д. Александров. Выпуклые многогранники. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
  • C-типы n-мерных решёток и пятимерные примитивные параллелоэдры (с приложением к теории покрытий) / С. С. Рышков, Е. П. Барановский. - Москва : Наука, 1976. - 130 с. : ил.; 26 см. - (Труды Математического института имени В. А. Стеклова/ АН СССР; Т. 137).