Ромбоусечённый икосододекаэдр

Ромбоусечённый икосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы	62 грани 180 рёбер 120 вершин Χ = 2
Грани	30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников
Конфигурация вершины	4.6.10
Двойственный многогранник	гекзакисикосаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	bD, taD
Символ Шлефли	tr{5,3}
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)
Количественные данные
Телесный угол при вершине	${\displaystyle 1{,}5\pi }$
Медиафайлы на Викискладе

Ромбоусечённый икосододека́эдр[1] или усечённый икосододека́эдр[2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 120 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань, одна шестиугольная и одна десятиугольная. Телесный угол при вершине равен в точности ${\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi .}$

Имеет 180 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },}$ при 60 рёбрах (между квадратной и десятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx 148{,}28^{\circ },}$ при 60 рёбрах (между шестиугольной и десятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ }.}$

Родственный многогранник, не являющийся полуправильным.

Название «усечённый икосододекаэдр», которое первоначально дал этому многограннику Кеплер, способно ввести в заблуждение. Дело в том, что в результате операции усечения, «срезав» с икосододекаэдра 30 четырёхугольных пирамид, можно получить лишь несколько иной многогранник, четырёхугольные грани которого — золотые прямоугольники, а не квадраты. Полученный многогранник полуправильным не является; впрочем, он изоморфен настоящему ромбоусечённому икосододекаэдру и может быть превращён в таковой при помощи небольшой деформации.

В координатах

Ромбоусечённый икосододекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),}$
• ${\displaystyle (\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),}$
• ${\displaystyle (\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),}$
• ${\displaystyle (\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),}$

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если ромбоусечённый икосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 174{,}2920303a^{2},}$

${\displaystyle V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}8033989a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}8023945a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7693771a.}$

Вписать в ромбоусечённый икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоусечённого икосододекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}4409548a.}$

Расстояния от центра многогранника до шестиугольных и квадратных граней превосходят ${\displaystyle r_{10}}$ и равны соответственно

${\displaystyle r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}6685425a,}$

${\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7360680a.}$

Примечательные свойства

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона с заданной длиной ребра ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольший объём, наибольшую площадь поверхности и наибольший диаметр.

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней — здесь первое место занимает курносый додекаэдр).

Примечания

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 40.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
3. Люстерник, 1956, с. 184.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Ромбоусечённый икосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.