Трижды наращённая шестиугольная призма

Трижды наращённая шестиугольная призма
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	17 граней 30 рёбер 15 вершин Χ = 2
Грани	12 треугольников 3 квадрата 2 шестиугольника
Конфигурация вершины	3(3^4) 12(3^2.4.6)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J57, П6+3М2
Группа симметрии	D3h

Три́жды наращённая шестиуго́льная при́зма[1] — один из многогранников Джонсона (J₅₇, по Залгаллеру — П₆+3М₂).

Составлена из 17 граней: 12 правильных треугольников, 3 квадратов и 2 правильных шестиугольников. Каждая шестиугольная грань окружена тремя квадратными и тремя треугольными; каждая квадратная грань окружена двумя шестиугольными и двумя треугольными; среди треугольных граней 6 окружены шестиугольной и двумя треугольными, другие 6 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 30 рёбер одинаковой длины. 6 рёбер располагаются между шестиугольной и квадратной гранями, 6 рёбер — между шестиугольной и треугольной, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 12 — между двумя треугольными.

У трижды наращённой шестиугольной призмы 15 вершин. В 12 вершинах сходятся шестиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 3 вершинах — четыре треугольных.

Трижды наращённую шестиугольную призму можно получить из четырёх многогранников — трёх квадратных пирамид (J₁) и правильной шестиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основания пирамид к трём попарно не смежным квадратным граням призмы.

Метрические характеристики

Если трижды наращённая шестиугольная призма имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(3+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 13{,}3923048a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)a^{3}\approx 3{,}3051830a^{3}.}$

В координатах

Трижды наращённую шестиугольную призму с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm {\sqrt {3}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 2;\;\pm 1;\;0\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm {\frac {3+{\sqrt {6}}}{2}};\;0;\;-{\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$

При этом одна из четырёх осей симметрии многогранника будет совпадать с осью Oy, а две из четырёх плоскостей симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 22.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Трижды наращённая шестиугольная призма (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.