Удлинённая пятиугольная бипирамида

Удлинённая пятиугольная бипирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	15 граней 25 рёбер 12 вершин Χ = 2
Грани	10 треугольников 5 квадратов
Конфигурация вершины	10(3^2.4^2) 2(3^5)
Двойственный многогранник	pentagonal bifrustum^[вд]
Развёртка
Классификация
Обозначения	J16, М3+П5+М3
Группа симметрии	D5h

Удлинённая пятиуго́льная бипирами́да[1] — один из многогранников Джонсона (J₁₆, по Залгаллеру — М₃+П₅+М₃).

Составлена из 15 граней: 10 правильных треугольников и 5 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена квадратной и двумя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между двумя квадратными гранями, 10 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 10 — между двумя треугольными.

У удлинённой пятиугольной бипирамиды 12 вершин. В 10 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 2 вершинах сходятся пять треугольных граней.

Удлинённую пятиугольную бипирамиду можно получить из трёх многогранников — двух правильных пятиугольных пирамид (J₂) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основания пирамид к основаниям призмы.

Метрические характеристики

Если удлинённая пятиугольная бипирамида имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {5}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9{,}3301270a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\approx 2{,}3234831a^{3}.}$

В координатах

Удлинённую пятиугольную бипирамиду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}};\;{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;{\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm \left(1+{\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{5}}}\;\right)\right).}$

При этом две из шести осей симметрии многогранника будет совпадать с осями Oy и Oz, а две из шести плоскостей симметрии — с плоскостями xOy и yOz.

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 20.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Удлинённая пятиугольная бипирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.