Список плоских групп симметрии

В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: международная нотация, орбифолдная нотация[англ.] и нотация Коксетера[англ.]. Существует три вида групп симметрии на плоскости:

Точечные группы симметрии

Основная статья: Точечная группа симметрии

На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n, равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.

Семейство Межд.
(орбифолд[англ.]) 		Шёнфлиса Геом. [1]
Коксетер[англ.] 		Порядок Примеры
Циклические группы n
(n•) 		Cn n
[n]+
node_h2nnode_h2 		n
C1, [ ]+ (•)
C2, [2]+ (2•)
C3, [3]+ (3•)
C4, [4]+ (4•)
C5, [5]+ (5•)
C6, [6]+ (6•)
Диэдральные группы nm
(*n•) 		Dn n
[n]
nodennode 		2n
D1, [ ] (*•)
D2, [2] (*2•)
D3, [3] (*3•)
D4, [4] (*4•)
D5, [5] (*5•)
D6, [6] (*6•)

Группа бордюров

На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.

7 групп бордюров, двумерных рёберных групп[англ.]. Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.

[1,∞], node_h22nodeinfinnode
IUC
(орбифолд[англ.]) 		Геом. Шёнфлис Коксетер[англ.] Фундаментальная
область 		Пример
p1
(∞•)		 p1 C∞ [1,∞]+
node_h22node_h2infinnode_h2
p1m1
(*∞•)		 p1 C∞v [1,∞]
node_h22node_c2infinnode_c6
[2,∞+], node2nodeinfinhnode
IUC
(Орбифолд) 		Геом. Шёнфлис Коксетер Фундаментальная
область 		Пример
p11g
(∞×)		 p.g1 S2∞ [2+,∞+]
node_h22xnode_h4infinnode_h2
p11m
(∞*)		 p. 1 C∞h [2,∞+]
node_c22node_h2infinnode_h2
[2,∞], node2nodeinfinnode
IUC
(Орбифолд) 		Геом. Шёнфлис Коксетер Фундаментальная
область 		Пример
p2
(22∞)		 p2 D∞ [2,∞]+
node_h22xnode_h2infinnode_h2
p2mg
(2*∞)		 p2g D∞d [2+,∞]
node_h22xnode_h2infinnode_c2
p2mm
(*22∞)		 p2 D∞h [2,∞]
node_c52node_c2infinnode_c6

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации, орбифолдной нотации[англ.] и нотации Коксетера[англ.] и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной, скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.

Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.

Квадрат
[4,4], node4node4node
IUC
(Орб.[англ.])
Геом. 		Коксетер[англ.] Фундаментальная
область
p1
(°)
p1
p2
(2222)
p2		 [4,1+,4]+
labelhnodesplit1-44branch_h2h2label2
[1+,4,4,1+]+
node_h04node_h04node_h0
pgg
(22×)
pg2g		 [4+,4+]
node_h24node_h44node_h2
pmm
(*2222)
p2		 [4,1+,4]
node4node_h04node
[1+,4,4,1+]
node_h04node4node_h0
cmm
(2*22)
c2		 [(4,4,2+)]
nodesplit1-44branch_h2h2label2
p4
(442)
p4		 [4,4]+
node_h24node_h24node_h2
p4g
(4*2)
pg4		 [4+,4]
node_h24node_h24node
p4m
(*442)
p4		 [4,4]
node4node4node
Прямоугольный
[∞h,2,∞v], nodeinfinnode2nodeinfinnode
IUC
(Orb.)
Геом. 		Коксетер Фундаментальная
область
p1
(°)
p1		 [∞+,2,∞+]
labelinfinbranch_h2h22branch_h2h2labelinfin
p2
(2222)
p2		 [∞,2,∞]+
node_h2infinnode_h22xnode_h2infinnode_h2
pg(h)
(××)
pg1
 h: [∞+,(2,∞)+]
node_h2infinnode_h42xnode_h2infinnode_h2
pg(v)
(××)
pg1		 v: [(∞,2)+,∞+]
node_h2infinnode_h22xnode_h4infinnode_h2
pgm
(22*)
pg2		 h: [(∞,2)+,∞]
node_h2infinnode_h22xnode_h2infinnode
pmg
(22*)
pg2		 v: [∞,(2,∞)+]
nodeinfinnode_h22xnode_h2infinnode_h2
pm(h)
(**)
p1		 h: [∞+,2,∞]
node_h2infinnode_h22nodeinfinnode
pm(v)
(**)
p1		 v: [∞,2,∞+]
nodeinfinnode2node_h2infinnode_h2
pmm
(*2222)
p2		 [∞,2,∞]
nodeinfinnode2nodeinfinnode
Ромбический
[∞h,2+,∞v], nodeinfinnode_h22xnode_h2infinnode
IUC
(Orb.)
Геом. 		Коксетер Фундаментальная
область
p1
(°)
p1		 [∞+,2+,∞+]
node_h2infinnode_h42xnode_h4infinnode_h2
p2
(2222)
p2		 [∞,2+,∞]+
label2branch_h2h22iaib2branch_h2h2label2
cm(h)
(*×)
c1		 h: [∞+,2+,∞]
node_h2infinnode_h42xnode_h2infinnode
cm(v)
(*×)
c1		 v: [∞,2+,∞+]
nodeinfinnode_h22xnode_h4infinnode_h2
pgg
(22×)
pg2g		 [((∞,2)+)[2]]
node_h2split1-2inodes_h4h4split2-i2node_h2
cmm
(2*22)
c2		 [∞,2+,∞]
nodeinfinnode_h22xnode_h2infinnode
Параллелограммный (косой)
p1
(°)
p1
p2
(2222)
p2
Шестиугольная/Треугольная
[6,3], node6node3node / [3[3]], nodesplit1branch
p1
(°)
p1
p2
(2222)
p2		 [6,3]Δ
cmm
(2*22)
c2		 [6,3]⅄
p3
(333)
p3		 [1+,6,3+]
node_h06node_h23node_h2
[3[3]]+
branch_h2h2split2node_h2
p3m1
(*333)
p3		 [1+,6,3]
node_h06node3node
[3[3]]
branchsplit2node
p31m
(3*3)
h3		 [6,3+]
node6node_h23node_h2
p6
(632)
p6		 [6,3]+
node_h26node_h23node_h2
p6m
(*632)
p6		 [6,3]
node6node3node

Взаимосвязь подгрупп обоев

В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе , и столбца, соответствующего группе , находится минимальный индекс подгруппы , изоморфной . На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.

Взаимосвязь подгрупп 17-и групп обоев [2]
o 2222 ×× ** *× 22× 22* *2222 2*22 442 4*2 *442 333 *333 3*3 632 *632
p1 p2 pg pm cm pgg pmg pmm cmm p4 p4g p4m p3 p3m1 p31m p6 p6m
o p1 2
2222 p 2 2 2
×× pg 2 2
** pm 2 2 2 2
*× cm 2 2 2 3
22× pgg 4 2 2 3
22* pmg 4 2 2 2 4 2 3
*2222 pmm 4 2 4 2 4 4 2 2 2
2*22 cmm 4 2 4 4 2 2 2 2 4
442 p4 4 2 2
4*2 p4g 8 4 4 8 4 2 4 4 2 2 9
*442 p4m 8 4 8 4 4 4 4 2 2 2 2 2
333 p3 3 3
*333 p3m1 6 6 6 3 2 4 3
3*3 p31m 6 6 6 3 2 3 4
632 p6 6 3 2 4
*632 p6m 12 6 12 12 6 6 6 6 3 4 2 2 2 3

См. также

Примечания

  1. ↑ Hestenes, Holt, 2007.
  2. ↑ H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Berlin:Springer, 1972. § 4.6, Table 4

Литература

  • D. Hestenes[англ.], J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics.. — 2007. — Т. 48, 023514.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — A.K. Peters, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)
  • John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry. — Natick, MA: A K Peters, Ltd., 2003. — ISBN 978-1-56881-134-5.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9.
  • N.W. Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.

Ссылки