Дискретное пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

• Пусть ${\displaystyle X}$ — некоторое множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — семейство всех его подмножеств. Тогда ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
• Пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метрическое пространство, где метрика ${\displaystyle \rho }$ определена следующим образом:

${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.}$

Тогда ${\displaystyle \rho }$ называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle X=\{1,\ldots ,n\},}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, и ${\displaystyle \rho }$ — дискретная метрика на ${\displaystyle X}$. Тогда ${\displaystyle (X,\rho )}$ — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
• Пусть ${\displaystyle X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ и ${\displaystyle \rho (x,y)=|x-y|.}$ Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства

• Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
• Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
• Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Дискретное метрическое пространство ограничено.
• Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
• Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
• Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Тривиальная топология.