Конечное множество

Конечное множество — множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество, называется конечным. В противном случае множество называется бесконечным. Например,

${\displaystyle \{2,4,6,8,10\}}$

конечное множество из пяти элементов. Число элементов конечного множества является натуральным числом и называется мощностью множества. Множество натуральных чисел бесконечно:

${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}.}$

Конечные множества играют особую роль в комбинаторике, которая изучает дискретные объекты. Рассуждения о конечных множествах используют принцип Дирихле, согласно которому не может существовать инъекция из большего конечного множества в меньшее.

Формальное определение

Два множества ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ называются эквивалентными, если существует биективное отображение одного множества в другое. Если множества X и Y эквивалентны, то этот факт записывают ${\displaystyle X\sim Y}$ или ${\displaystyle |X|=|Y|}$ и говорят, что множества имеют одинаковые мощности.

Множество ${\displaystyle X}$ называется конечным, если оно эквивалентно множеству ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ при некотором неотрицательном целом ${\displaystyle \ n}$. При этом число ${\displaystyle \ n}$ называется количеством элементов множества ${\displaystyle X}$, что записывается как ${\displaystyle |X|=n}$.[1]

В частности, пустое множество является конечным множеством, количество элементов которого равно 0, то есть, ${\displaystyle |\varnothing |=0}$.

Существуют и другие определения конечного множества:

• множество конечно, если оно индуктивно;
• множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно[2];
• множество конечно, если оно нерефлексивно;
• множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству[2].

Проблема определения конечности множеств в общем случае неразрешима (теорема Трахтенброта). Не существует ни самого слабого, ни самого сильного определения конечного множества. Для каждой логической формулы, являющейся определением конечного множества, существует более сильная и более слабая формулы. Существует неограниченное число логических формул, определяющих конечные множества, и среди них неограниченное множество независимых определений.

Свойства

• Регулярное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству;[1]
• Если конечные множества ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ попарно не пересекаются (то есть, ${\displaystyle X_{i}\cap X_{j}=\varnothing }$), то

  ${\displaystyle |X_{1}\cup X_{2}\cup \dots \cup X_{n}|=|X_{1}|+|X_{2}|+\dots +|X_{n}|}$;

• Если ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ — конечные множества, то

  ${\displaystyle |X_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}|=|X_{1}|\times |X_{2}|\times \dots \times |X_{n}|}$;

• Если ${\displaystyle X}$ — конечное множество, то мощность его булеана равна

  ${\displaystyle \ |2^{X}|=2^{|X|}.}$

См. также

• Бесконечное множество

Примечания

1. Соболева Т. С., Чечкин А. В. Дискретная математика (неопр.). — Академия, 2006. — ISBN 5-7695-2823-0.
2. Френкель, 1966, с. 87.

Литература

• Френкель А. А., Бар-Хиллел Р. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.