Теорема Трахтенброта

Теорема Трахтенброта — теорема о неразрешимости истинности формул логики первого порядка для конечных моделей. Была сформулирована Б. А. Трахтенбротом в 1950 году[1]. Её следствием является существование неограниченного числа формул, выражающих условие (а, следовательно, и определение) конечности множества и среди них имеется неограниченное множество независимых.[2] Также её следствием является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности (для любой аксиомы бесконечности найдется более слабая аксиома бесконечности)[3].

Пояснения

Существует ряд логических формул, выражающих условие конечности множества и, следовательно, являющимися его определениями, например:

• множество конечно, если оно индуктивно;
• множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно[4];
• множество конечно, если оно нерефлексивно;
• множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству[4].

Следствием теоремы Трахтеброта является существование неограниченного числа таких формул и отсутствие среди них самой слабой и самой сильной[2].

В математической логике формула ${\displaystyle A}$ считается сильнее формулы ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle B}$ следует из ${\displaystyle A}$, но ${\displaystyle A}$ не следует из ${\displaystyle B}$.

Другим следствием теоремы Трахтенброта является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности[3].

Примечания

1. Трахтенброт Б. А. Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на конечных классах // Доклады АН СССР, — 1950. — Т. 70, № 4. — С. 569—572.
2. Трахтенброт Б. А. Определение конечного множества и дедуктивная неполнота теории множеств // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1956. — Т. 20, № 4. — С. 569—582. — URL: http://mi.mathnet.ru/izv3789
3. Черч, 1960, с. 330.
4. Френкель, 1966, с. 87.

Литература

• Черч А. Введение в математическую логику. — М.: ИЛ, 1960. — 484 с.
• Френкель А. А., Бар-Хиллел Р. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.