Для любого правильного многогранника существует ортогональная проекция на плоскость, при которой многоугольник Петри становится правильным многоугольником, содержащим внутри себя все остальные части проекции. При этом плоскость, на которую производится проекция, является плоскостью Коксетера[англ.]группы симметрии многоугольника, а число сторон является числом Коксетерагруппы Коксетера. Эти многоугольники и спроецированные графы полезны для показа структур симметрии правильных многогранников большой размерности.
Многоугольник Петри для куба — пространственный шестиугольник, проходящий через 6 из 8 вершин. Пространственный многоугольник Петри можно рассматривать как правильный плоский многоугольник после ортогональной проекции.
Джон Флиндерс Петри (1907—1972) был единственным сыном египтологаФлиндерса Петри[3]. Он родился в 1907 и уже школьником показал замечательные математические способности. При полной концентрации он мог ответить на сложные вопросы о четырёхмерных объектах путём их визуализации.
Он первым обратил внимание на важность правильных пространственных многоугольников, которые возникают на поверхностях правильных многогранников. Коксетер в 1937 объяснил, как он и Петри начали расширять классическое понятие правильных многоугольников:
Однажды, в 1926, Дж. Ф. Петри сказал мне в большом возбуждении, что он обнаружил два новых правильных многогранника, бесконечных, но без ложных вершин. Когда мой скептицизм начал убывать, он мне их описал — один состоит из квадратов, по шесть в каждой вершине, а другой состоит из шестиугольников, по четыре на вершину [4].
В 1938 Петри, Коксетер, Патрик Дюваль[англ.] и Х. Т. Флазер выпустили книгу The Fifty-Nine Icosahedra (Пятьдесят девять икосаэдров) [5].
Понимая важность пространственных многогранников, использованных Петри, Коксетер назвал их именем своего друга, когда писал книгу Regular Polytopes[англ.] (Правильные многогранники).
В 1972, через несколько месяцев после выхода на пенсию, Петри погиб, когда пытался перебежать шоссе рядом со своим домом в графстве Суррей[6].
Многоугольники Петри являются внешними границами этих ортогональных проекций. Синим выделены «передние» рёбра, а серым цветом показаны задние рёбра.
Концентрические кольца вершин вершин отсчитываются снаружи внутрь с обозначением: , кончая нулём, если нет центральных вершин.
Бесконечные правильные пространственные многоугольники (апейрогоны) можно также определить как многоугольники Петри для правильных мозаик, имеющих углы 90, 120 и 60 градусов (для квадратных, шестиугольных и треугольных граней соответственно).
Бесконечные правильные пространственные многоугольники существуют также в качестве многоугольников Петри для правильных гиперболических мозаик, подобных треугольной мозаике порядка 7[англ.] {3,7}:
Многоугольники Петри правильных многогранников в четырёхмерном пространстве (4-многогранников)
Можно определить также многоугольники Петри правильных многогранников в четырёхмерном пространстве {p, q ,r}.
Проекции многоугольников правильных и однородных многогранников размерности 4 и выше
Проекции многоугольников Петри наиболее полезны для визуализации многогранников размерности 4 и выше. Таблица представляет многоугольники Петри трёх семейств правильных многогранников (симплексы, гиперкубы, ортоплексы) и исключительных простых групп Ли En, которые образуют полуправильные и однородные многогранники для размерностей от 4 до 8.
Для обсуждения двойственных многоугольников Петри введём понятие схема[7]
Неформально, схемаP — это семейство многоугольников (которые могут быть бесконечноугольными), такое, что
Любые два многоугольника имеют общее ребро или вершину, либо не пересекаются вовсе.
Каждое ребро принадлежит ровно двум многоугольникам.
Многоугольники, содержащие выбранную вершину, образуют один цикл смежных многоугольников (имеющих общие рёбра).
Любые два многоугольника связаны цепочкой смежных многоугольников.
Схема P будет иметь группу автоморфизмов Γ (P) и P называется регулярной, если Γ (P) транзитивна на множестве
F (P) флаговP. Если регулярная схема P имеет p-угольные грани и q-угольные вершинные фигуры, то говорят, что она имеет (Шлефли) тип {p, q}.
Любой правильный многогранник или бесконечногранник порождает регулярную схему естественным образом.
Петри двойственный (Петриал[8]) правильного многогранника — это регулярная схема, вершины и рёбра которой соответствуют вершинам и рёбрам исходного многогранника, а гранями являются множество многоугольников Петри. Эта схема обозначается как оператор π (в виде верхнего индекса) над правильным многогранником. Каждое ребро принадлежит двум граням (многоугольникам Петри) [9][10][11][12].
Петриал тетраэдра, {3,3}π, имеет 4 вершины, 6 рёбер и 3 квадратные грани (в виде пространственных квадратов, то есть вершины квадрата не лежат в одной плоскости). Имея эйлерову характеристику χ = 1, петриал топологически идентичен полукубу[англ.] {4,3}/2.
Петриал куба, {4,3}π, имеет 8 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольника, показанных красным, зелёным, синим и оранжевым на рисунке. Он имеет эйлерову характеристику 0, и его можно рассматривать как четыре шестиугольные грани тороидальной шестиугольной мозаики {6,3}(2,0).
Петриал октаэдра, {3,4}π, имеет 6 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольных грани. Петриал имеет эйлерову характеристику −2, и имеет отображение в гиперболическую шестиугольную мозаику 4-го порядка[англ.], {6,4}3.
Петриал додекаэдра, {5,3}π, имеет 20 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −4, и он связан с гиперболической мозаикой {10,3}5.
Петриал икосаэдра, {3,6}π, имеет 12 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −12, и он связан с гиперболической мозаикой {10,5}3.
↑В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник. В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник, а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron (косой многогранник).
H.S.M. Coxeter.Section 4.3 Flags and Orthoschemes, Section 11.3 Petrie polygons // Regular complex polytopes. — Cambridge, New York: Cambridge University Press, 1973. — ISBN 0-521-39490-2.
У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986. — С. 150.
H.S.M. Coxeter.Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.
H.S.M. Coxeter. Proceedings of the London Mathematical Society. — 1937. — Т. 43. — С. 33-62.
H.S.M. Coxeter.paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, стр. 161 // Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.
