Народився 20 лютого1933 року в Сталіному (нині Донецьк) в родині службовця Леоніда Звягільського.
1956 року закінчив Донецький індустріальний інститут, здобув спеціальність гірничого інженера. Працював на шахті № 13 тресту «Куйбишеввугілля» помічником начальника, потім — начальником вугільної дільниці, головним інженером, директором. Одночасно займався науковою діяльністю. Від 1975 року — директор шахтоуправління «Куйбишевське» виробничого об'єднання «Донецьквугілля». Від 1979 року — директор шахти ім. Засядька виробничого об'єднання «Донецьквугілля».
В ході компанії по виборах президента України 1994 року був однією з головних мішеней критики опозиції президентові Леоніду Кравчуку, звинувачувався у зловживанні службовим положенням тощо. В результаті цієї компанії, тиску і погроз, опинився під слідством.
У 1994 році навколо персони Звягільського вибухнув величезний скандал, унаслідок якого щодо нього було відкрито справу в зв'язку з перевищенням ним своїх службових повноважень. Щоб не сідати за ґрати, нардеп був змушений сховатися в Ізраїлі в надії, що колись дебати вщухнуть.
Звягільського також звинувачували у вивезенні у 1994 році 300 млн доларів нелегальної готівки до Ізраїлю за допомогою ізраїльської спецслужби «Натів»[4].
З листопада 1994 по березень 1997 року переховувався від слідства в Ізраїлі. Ближче до кінця 1990-х рр. опозиція знайшла підтримку у Верховній Раді та відправила у Генпрокуратуру запит про порушення кримінальної справи проти Кучми, Звягільського і колишнього міністра Євгена Лобова за привласнення і розтрату 12 млн німецьких марок, які належали державі. У запиті фігурували такі поняття, як «організована злочинна група» і «незаконне привласнення в особливо великих розмірах». Заявлялося, що Юхим Леонідович розтратив виділені ФРН кошти в складі злочинного угруповання. Звернення не призвело до жодних юридичних наслідків, що пояснювалося у ЗМІ впливом Звягільського.
Після повернення в Україну розгорнув активну політичну діяльність і став головою правління орендарів ОП «Шахта імені О. Ф. Засядька», яке тоді постійно фігурувало в заголовках в зв'язку з численними аваріями зі смертельними наслідками.
У 2006 році став народним депутатом України (№ 9 списку Партії регіонів). У 2007 році вперше в історії України вшосте став народним депутатом України (знову дев'ятий номер списку Партії регіонів). У 2012 році усьоме став народним депутатом України від Партії регіонів (ОВО № 45), і найстаршим депутатом Верховної Ради України.
Протягом 2006—2007 року — нардеп і одночасно член фракції Партії регіонів. З 2007 по 2012 рік — нардеп Партії регіонів.
У 2014 році стає народним обранцем від Опозиційного блоку, а також членом фракції. Входив до Комітету Верховної Ради України з питань паливно-енергетичного комплексу.
На позачергових парламентських виборах 2014 року знову здобув перемогу в одномандатному окрузі № 45. При цьому вибори відбулися лише на чотирьох дільницях округу.
Влітку 2019 року восьмикратний народний депутат відмовився від участі в дев'ятих на його рахунку парламентських виборах і вийшов на пенсію у віці 86 років.
Юхим Звягільський був досить заможною людиною і не приховував цього. Згідно з оцінкою незалежних експертів, в період з 2010 по 2013 року його статки оцінювалися в 170—240 мільйонів гривень. У 2017 році він декларував дохід, що перевищував 16 мільйонів гривень. Заощадження в банках складали 85 млн 472 тис. гривень, 1 млн 442 тис. доларів і 183 тис. євро, також політик декларував 1 млн 300 тис. гривень, 87 тис. доларів і 19 тис. євро готівкою, дружина нардепа декларувала 140 тис. гривень і 17 тис. доларів. Звягільський заявляв права на два авто марок Lexus і BMW 760LI.
Чутки та скандали
Будучи багаторічним директором донецької шахти імені Засядька, саме Юхим Леонідович є відповідальним за її катастрофічний техні́чний знос, постійне недотримання норм експлуатації та безпеки, що спричинило за собою численні жертви серед гірників. У період з 1999 по 2015 року на шахті сталося шість великих аварій, які забрали сотні життів. При цьому, сам Звягільський жодного разу не був притягнутий хоча б до дисциплінарної відповідальності за допущення аварійних ситуацій.
Згідно з поширеною думкою, як важіль тиску на Київ він придумав ідею створення Південно-Східної Української Автономної Республіки, яку в народі назвали ПіСУАР. Метою проєкту був шантаж уряду з метою збереження субсидування донецьких і луганських шахт, більшість яких є збитковими, і невтручання в корупційні справи керівників галузі. Вважалося, що субсидії та лояльності з Києва гарантувала б владі спокій від можливих сепаратистів.
Численні джерела стверджують, що Звягільський уже кілька десятиліть є громадянином Ізраїлю, що порушує норми українського законодавства і позбавляє право займати державні пости.
Саме Звягільського називають батьком української корупції і одним з організаторів перших незаконних схем в парламенті і верхівці виконавчої влади, коли за певні гроші можна вирішити будь-які питання.
Окремі ЗМІ частково покладали на Звягільського відповідальність за підтримку проросійських настроїв, а після і бойовиків, які спровокували війну на сході України і окупацію Криму і Донбасу російською армією.
Депутата від одного з найбідніших регіонів України ловили на незаконних активах. Зокрема, на внучку політика нібито був оформлений розкішний особняк в Швейцарії, вартістю в мільйони доларів.
Нардепа звинувачували в незаконному отриманні контролю за багатими ресурсами ділянками землі, зокрема, вугільними родовищами і нафтовими ділянками на сході країни.
Протягом останніх шести років Звягільського постійно звинувачували в незаконній комерційній діяльності на території так званої ДНР, торгівлі з бойовиками і окупантами. Зокрема зазначалося, що за роботу шахти імені Засядька і наявних там активів, український нардеп перераховував терористам сотні мільйонів російських рублів на рік.
20 лютого 2003, в день 70-річчя Юхима Звягільського, йому присвоєно звання Герой України з врученням ордена Державиза визначні особисті заслуги перед Українською державою у розвитку вугільної промисловості, багаторічну законотворчу діяльність[9].
Орден князя Ярослава Мудрого IV ст. (27 квітня 2013) — за вагомий особистий внесок у соціально-економічний, науково-технічний, культурно-освітній розвиток Української держави, вагомі трудові досягнення, багаторічну сумлінну працю[10].
Орден князя Ярослава Мудрого V ст. (18 серпня 2009) — за вагомий особистий внесок у державне будівництво, багаторічну сумлінну працю, високий професіоналізм та з нагоди 18-ї річниці незалежності України[11].
Державна премія України в галузі науки і техніки 2002 року — за розробку і впровадження нових ресурсозберігаючих засобів кріплення і охоронних конструкцій капітальних виробок на основі геомеханіки системи «кріплення — породний масив», що забезпечують ефективну експлуатацію вугільних шахт України (у складі колективу)[12].